Геометрия подобно однородных R-деревьев и геодезических пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Булыгин Алексей Иванович

• Булыгин Алексей Иванович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Булыгин Алексей Иванович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1.1 Основные определения и теоремы

1.2 О К-деревьях

Глава 2. СТРОГО ВЕРТИКАЛЬНЫЕ К-ДЕРЕВЬЯ

2.1 Характернзацня К-дерева как геодезического пространства

со структурой полулинейной метрической полурешётки

2.2 Строго вертикальные К-деревья

2.3 Модельные строго вертикальные К-деревья

2.4 Классификация строго вертикальных К-деревьев

с ветвлением кверху (книзу)

2.5 Отображения К-деревьев, сохраняющие расстояние один

Глава 3. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ НЕ СТРОГО

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ К-ДЕРЕВЬЯ

3.1 Ветвление вертикальных К-деревьев

3.2 Маршруты и экзит-маршруты

3.3 Доказательство основной теоремы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия подобно однородных R-деревьев и геодезических пространств»

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования данной диссертационной работы являются частные случаи подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой, а именно некоторые К-деревья.

Однородные пространства с внутренней метрикой подробно изучаются в работах [8-10], монографиях [6; 11] и книге [39]. В частности, в статье [10] исследованы подобно однородные локально полные пространства с внутренней метрикой, простейшим примером которых является открытая евклидова полупрямая К+. Свойства локально полных пространств с внутренней метрикой также рассматривались в работах [23;24]. Группы подобий для пространств с в внутренней метрикой изучены в статьях [34; 48], а также в работах [21; 46]. Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой рассматривалось в работах [18-20].

Прямо или косвенно вопросами геометрии К-деревьев математики занимаются с середины XX века, но только в 2002 году, в статье [32], было положено начало их систематическому изучению. Несмотря на многолетние исследования, на данный момент остаются нерешёнными задачи классификации и удобной практической верификации К-деревьев, а также отсутствуют примеры построения подобно однородных вертикальных К-деревьев и не рассмотрены некоторые свойства.

Первая цель диссертации — рассмотреть геометрию строго вертикальных К-деревьев и произвести их классификацию. Вторая цель — показать существование вертикальных К-деревьев, не являющихся строго вертикальными, и изучить их свойства.

Методы исследования.

Используются методы метрической геометрии и классические теоремы из теории топологических ГруПп. Применяются теоремы об однородных пространствах с внутренней метрикой, так как каждому подобно однородному пространству с внутренней метрикой каноническим образом сопоставляется однородное пространство с внутренней метрикой. Также, при решении поставленных задач, применяются конструкции, разработанные в ходе проведения научного исследования.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты, полученные в рамках диссертационного исследования имеют теоретический характер и могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространств с внутренней метрикой. Примеры применения К-деревьев приведены в статьях [29; 32]. Полезный критерий Мдерева в терминах метрических полурешёток показан в статье [4].

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Нумерация определений, гипотез и теорем состоит из двух чисел: номера главы и порядкового номера в главе. Список литературы содержит 60 наименований и приведен в алфавитном порядке, за исключением публикаций автора по теме исследования, которые выделены в отдельную часть. Общий объём работы составляет 80 страниц машинописного текста.

Введение содержит информацию об объекте исследования, целях и задачах работы, а также об основных результатах.

Первая глава разбита на два параграфа. Так, в первом (вспомогательном), изложены основные определения и теоремы, а также обсуждаются некоторые конструкции и специфические свойства, характерные для рассматриваемых видов пространств. Во втором параграфе первой главы приведен обзор работ других авторов по теме исследования и сформулированы задачи, подлежащие рассмотрению в рамках диссертации.

Пусть (X, ё) — метрическое пространство (далее обозначим X). Под отрезком в X с концами х,у € X понимается образ в X числового отрезка [а, Ь] С К при изометрическом вложении % : [а, Ь] ^ X, при котором {(а) = х и 1(Ь) = у.

Определение 1.1. Метрика 4 называется внутренней, если для любых точек х,у € X и любо го £ > 0 существует £-середи на т между х и у7 и строго внутренней, если для любых х,у € X между ними имеется середина т:

(1(х,т) = (1(у,т) = - (1(х,у).

Определение 1.2. Пространство X называется геодезическим, если любые две точки х,у € X можно соединить отрезком.

В частности, всякое полное пространство со строго внутренней метрикой является геодезическим пространством.

В дальнейшем, если не оговорено иное, все рассматриваемые в данной работе пространства являются геодезическими.

Определение 1.6 (см. [10]). Пространство X называется подобно однородным, если для любых точек х,у £ X существует подобие ф, переводящее х в ф(х) = у. Если для любых х,у £ X существует изометрия ф, переводящая х в у7 то пространство X называется однородным.

Начало систематическому изучению подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой было положено Берестовским В.Н. в статье [10], где доказана теорема об однородности подобно однородных пространств.

Определение 1.9 (см. [10]). Пространство X называется локально полным, если для любой точки х £ X определено число г > 0, такое что замкнутый шар В(х,г) полон в метрике d. Точная верхняя грань радиусов г, для которых шар В(х,г) полон, называется радиусом полноты в точке х, обозначение с(х).

Если с(х0) = хотя бы в одной точке х0 £ X, то пространство X полное и с(х) = во всех точках х £ X.

Теорема 1.11 (см. [10]). Локально полное подобно однородное пространство (X, d) однородно тогда и только тогда, когда оно полно.

Для римановых С ^-многообразий утверждение теоремы 1.11 является следствием результатов, которые были представлены Алексеевским Д.В. и Кимельфельдом Б.Н. в статьях [2;3]. И далее, в работе [46], Родионов Е.Д. и Славский В.В. показали соответствующий результат для локально ком-формно однородных римановых многообразий.

Далее рассматриваются исключительно подобно однородные пространства, не являющиеся однородными. Неоднородность пространств означает, что группа всех изометрий действует нетранзитивно, поэтому функция радиуса полноты с(х) всюду конечна.

Понятие R-дерева, введеное Жаком Титсом в 1977 году (real-tree, см. [47]), является обобщением понятия симплициального дерева и включается в более общее семейство так называемых А-деревьев (см. [38; 45]). При этом правильно будет отметить, что Александров А.Д. привел две

характеризации Мдеревьев еще в 1955 году [27]. К-дерево называется симплициалъным деревом, если оно обладает структурой одномерного сим-плициального комплекса. Метрика симплициального дерева X является внутренней метрикой, при которой расстояние между вершинами х,у € X равно сумме длин рёбер, составляющих метрический отрезок.

Определение 1.16. Нетривиальное (содержащее более одной точки) геодезическое пространство (X, ^называет ся Ш-деревом, если объединение любых двух отрезков [ху]ж [уг] в X, пересечение которых есть их общий конец у7 является вновь отрезком [хг]. Иначе гов оря, X являет ся К-деревом, если любая сторона произвольного треугольника △хух в X содержится в объединении двух других сторон:

С [ху] и [ух\.

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению геометрии строго вертикальных К-деревьев.

В начале приводится характеризация К-дерева, как геодезического пространства со структурой полулинейной метрической полурешётки, что было частично раскрыто в статье Андреева П.Д. [4]. Основные факты теории решёток и частично упорядоченных множеств можно найти в книгах [13; 37].

Определение 2.1. Пусть на метрическом пространстве (X, ё) задано отношение частичного порядка Упорядоченное метрическое пространство (Х,(1, называется метрической У-полурешёт,кой (соответственно, метрической Л-полурешёткой), если пара (X, является верхней (соответственно, нижней) полурешёткой, и при этом выполнены следующие свойства:

1. для любых х,у,г € X из отношения х ^ ^ ^ у следует равенство (1(х, х) + (1(х, у) = (1(х, у), и

2. для любых точек х,у € X выполнено равенство (1(х,у) = (1(х,х V у) + (1(х V у, у) (соответственно, (1(х, у) = (1(х, х Л у) + (1(х Л у, у)).

Частичный порядок ^ на множестве X называется верхне полулинейным (нижне полулинейным), если для каждой точки х € X её верхний конус их := {у € X | х ^ у} (соответственно, нижний конус Lx := {% € X | ^ ^ х}) линейно упорядочен.

Теорема 2.2. Пусть X — геодезическое пространство. Если X является К-деревом, то для любой точки о £ X на X существует единственный частичный порядок, по отношению к которому это пространство является верхне полулинейной метрической У-полурешёткой с корнем о. По отношению к такому порядку каждое непустое подмножество А С X имеет точную верхнюю грань. Обратно, если X допускает частичный порядок, превращающий X в вехне полулинейную метрическую У-полурешётку, то X — К-дерево.

В следующей части второй главы вводится понятие строго вертикального К-дерева.

Определение 2.6. Непрерывная функция / : [а,Ь] ^ К называется пилообразной, если:

1. / не является постоянной ни на каком интервале (с, (!) С [а, Ь];

2. из того, что / монотонна на интервале (с, (!) С [а, Ь] следует, что / 1(с4) ~ линейная функция с угловым коэффициентом ±1.

Определение 2.7. Пусть (Х,ё) — локально полное подобно однородное неоднородное К-дерево и с : X ^ соответствующая функция радиуса полноты. Оно называется вертикальным, если на каждом отрезке [ху], параметризованном натуральной параметризацией у : [а,Ь] ^ X так, что у (а) = х и у (Ь) = у7 функция радиуса полноты с(у(1)) является пилообразной.

Определение 2.8. Будем говорить, что внутренняя точка ^ £ X отрезка [ху] С X является на этом отрезке точкой локального минимума (соответственно, локального максимума) радиуса полноты, если для натуральной параметризации у : [а, Ь] ^ X этого отрезка функция /= с(у^)) имеет локальный минимум (соответственно, локальный максимум) при £ £ (а, Ь)7 при штор ом у(Ь) = х. Всякая точка локального максимума или локального минимума радиуса полноты на произвольном отрезке [ху]7 называется точкой локального экстремума радиуса полноты. Вертикальное К-дерево X называется строго вертикальным, если на каждом отрезке [ху] С X имеется не более одной внутренней точки, которая является точкой локального экстремума радиуса полноты.

Далее, во второй главе, доказывается лемма для строго вертикальных К-деревьев:

Лемма 2.9. Пусть X — строго вертикальное К-дерево. Если на некотором отрезке [ху] С X имеется внутренняя точка являющаяся локальным минимумом (соответственно, локальным максимумом) радиуса полноты, то всякая точка локального экстремума радиуса полноты на произвольном отрезке является локальным минимумом (соответственно, локальным максимумом).

Поэтому, очевидно, что строго вертикальные К-деревья различаются

Л О грр| лу ВОТ ВЛО11 и м *

Определение 2.10. Пусть (X, ё) — строго вертикальное К-дерево, отличное от Будем говорить, что X имеет ветвление кверху (соответственно, ветвление книзу), если всякая точка локального экстремума радиуса полноты является точкой минимума (соответственно, максимума).

В третьем параграфе показано, что можно зафиксировать "стандартные" строго вертикальные К-деревья, которые будем называть модельными.

Пусть задано некоторое множество С, в котором выделен элемент е € С. Для произвольного а > 0 функция ф : [0, а) ^ С называется кусочно-постоянной справа, если для любого Ь € [0, а) — ф постоянна на [¿^ + £) С [0, а) при некотором £ > 0, зависящем от £ и ф. Пусть Х+(С) множество всех пар вида (ф,а\ где а > 0 произвольна, а ф : [0,а) ^ С — кусочно-постоянная справа функция, удовлетворяющая условию ф(0) = е.

Определим на Х+(С) бинарное отношение для функций

(ф,а), (ф, а') € Х+(С) выполняется отношение ф ^ ф, тел и О(ф) С И(ф)

и ФЬ(ф) = ф-

Тогда на множестве Х+ (С) можно задать метрику (1(ф, ф) = |а — а'1, если ф ^ ф ми ф ^ ф, О(ф) = [0,а) и И(ф) = [0,а'). В противном случае, если ср и ф несовместимы, то метрика определяется (1(ф, ф) = ё(ф, ф Л ф) + ё(ф Л ф,ф).

Лемма 2.18. Пространство (Х+(С),ё) локально полное. Радиус полноты в точке (ф,а) € Х+(С) равен с(ф) = а.

Далее доказано, что пространство Х+(С) подобно однородное и получен результат:

Теорема 2.21. Пространство (Х+(С),й) — строго вертикальное К-дерево с ветвлением книзу, его число ветвления равно |С|, где |С| — мощность множества С.

К-дерев о Х+(С) называется модел ьным Ж-деревом с ветвлением кверху. Аналогично определяется модельное строго вертикальное К-дерево с ветвлением книзу.

В четвертом параграфе доказано, что всякое строго вертикальное К-дерево изометрично одному из модельных К-деревьев и вводится следующая классификационная теорема:

Теорема 2.27. Пусть Т — строго вертикальное К-дерево с числом ветвления В(Т). Если Т имеет тип ветвления кверху, то оно изометрично Х+(С)7 где С — группа с количеством элементов |С| = В(Т).

Также в данном параграфе показано, что существует изометрия между К-деревьями с разным типом ветвления.

Определение 2.28. Пусть (Х,ё), (X',ё!) — два локально полных подобно однородных неоднородных пространства с внутренней метрикой. Будем говорить, что данные пространства инверсны друг другу, если существует гомеоморфизм I : X ^ X', называемый инверсией X на X' с коэффициентом Я > 0, при котором для радиуса полноты с(х) произвольной точки х £ X и радиуса с(х') её образа х' = I(х) выполняется равенство с(х) • с(х') = Я2.

Теорема 2.30. Пусть (У, (I) — строго вертикальное К-дерево с ветвлением книзу. Тогда оно инверсно некоторому строго вертикальному К-дереву (У,$) с ветвлением кверху с тем же числом ветвления.

После чего, на основании Теорем 2.27 и 2.30, получен результат:

Теорема 2.31. Всякое строго вертикальное К-дерево с ветвлением книзу изометрично модельному К-дерев у Х- (С) для некоторой гр уппы С.

Отдельно, в пятом параграфе второй главы, рассматриваются общая проблема характеризации метрических пространств А.Д. Александрова:

"Найти условия, достаточные для того, чтобы в метрическом пространстве (М, ё) выполнялась следующая характеризация изометрий. Всякая биекция Р : М ^ М, сохраняющая, вместе с обратным, к ней

( М, )

множестве М новую метрику dJ, которая может принимать конечные значения или значение то.

Определение 2.32. Для точек х,у € М прыжковый путь длины п между ними определяется как отображение

у : {0,1,...,п}^ М,

при котором у(0) = х, у(п) = у и ё(у(г — 1),у(г)) = 1 при всех % € {1,..., п}. Числ о п называется длиной прыжков ого пути у.

Прыжковым расстоянием А] между точками х,у € М называется минимальная длина прыжкового пути между ними.

В частности, считаем (!,](х,х) = 0 для любой точки х € М. Если между точками х и у не существует никакого прыжкового пути, то полагаем dJ(х, у) = то.

Ключевую роль в дальнейших построениях играет легко доказываемое

М

объединения М = Ли В двух непустых непересекающихся прыжково инвариантных множеств Л и В. Предположим, что метрическое пространство (А, (!,]) допускает нетривиальную изометрию / на себя, причём найдутся точки х € Л и у € В, для которых <Л(х, у) = с1(/(х), у). Тогда метрическое пространство ( М, ё) допускает биективное отображение Р : М ^ М, сохраняющее расстояние один, но не являющееся изометрией:

х), если х € Л, если х € В.

Предложение 2.35. Пусть X — полное симплициальное дерево, для которого все расстояния между вершинами являются рациональными числами и представляются дробями, знаменатели которых равномерно

Р (х) =

" I ^

и

ограничены. Тогда X допускает биективное отображение на себя, сохраняющее расстояние один, не являющееся изометрией.

Предложение 2.37. Пусть К-дерево X допускает нетривиальную изометрию, а множество попарных расстояний между его точками ветвления не более чем счётно. Тогда X допускает биективное отображение на себя, сохраняющее расстояние один и не являющееся изометрией.

Характеризация А.Д. Александрова для метрических пространств в рассмотренных случаях не выполняется.

Третья глава посвящена изучению геометрии вертикальных К-деревьев, не являющихся строго вертикальными, при этом структурно глава разбивается на три параграфа.

В начале рассмотрены особенности ветвления вертикальных К-деревьев. Показано, что каждая точка может быть как точкой локального максимума, так и точкой локального минимума для функции с на различных отрезках, проходящих через неё. Также доказывается, что число ветвления вертикального К-дерева, не являющегося строго вертикальным, как минимум континуально.

Определение 3.1. Пусть заданы функции / : [0,а] ^ А и д : [0, Ь] ^ А, где а,Ь > 0 и А — произвольное множество. Будем говорить, что / и д принадлежат, одному ростку, если существует 6 > 0,

При КОТОРОМ $ | [0,6] = 9\ [0,6] •

Понятно, что на множестве функций указанного вида отношение принадлежности одному ростку является отношением эквивалентности. Класс функций, эквивалентных заданной функции / называется её ростком. Росток функции / в нуле обозначается [/]0.

Определение 3.2. Будем говорить, что ветвь В С У с корнем х соответствует нулевому ростку [/]0 пилообразной функции /с /(0) = с(х)7 если функция с о у принадлежит этому ростку для любого у £ В. Здесь у : [0,(1(х,у)\ ^ У — натуральная параметризация отрезка [ху].

Далее классифицируем особые точки пилообразных функций и их ростков. Пусть / : [а,Ь] ^ К — произвольная пилообразная функция. Точка £ £ (а, Ь) называется неособой, если / монотонна в её окрестности

(1-6,1+6) С (а, Ь), при некотором 6 > 0. Изолированные точки локального экстремума будем называть особыми точками первого уровня. Для порядкового числа Л определены особые точки пилообразных функций уровней меньше Л. Точка Ь £ (а, Ъ) называется особой точкой уровня Л.

Определение 3.3. Пилообразная функция / : [0, а] ^ называется симметричной в точке Ь £ (0,а), если /(Ь — т) = /(Ь + т) для всех положительных т < 6 и некоторого 6 > 0, такого что (Ъ — 6, £ + 6) С [0, а]. Если £ — особая точка у ровня Л > 1 и / симметрична в ней, то будем считать, что £ — симметричная особенность высокого уровня.

В итоге доказана следующая теорема:

Теорема 3.4. Пусть У — вертикальное, но не строго вертикальное К-дерево, х £ У. Тогда для любой пилообразной функции / : [0,а] ^ К+, принимающей в пуле значение /(0) = с(х)7 росток которой [/]0 не содержит симметричных особенностей высокого уровня, имеется ветвь В К-дерев а У с корнем ж, соответствующая ростку [/]0.

Далее, основываясь на рассмотренных особенностях ветвления вертикальных К-деревьев, во втором параграфе вводятся необходимые определения и конструкции, которые понадобятся при доказательстве теоремы о существовании.

Вертикальное К-дерев о X представим в виде лабиринта, который имеет единственный вход и бесконечно много выходов. При этом каждая точка в X отождествляется с маршрутом, ведущим в неё из входа. В одну и ту же точку лабиринта ведут несколько разных маршрутов. Если маршрут ведёт в какую-то точку лабиринта, то существует экзит-маршрут, который ведёт к одному из выходов. Маршрутом он не является, но обладает теми же свойствами.

Определение 3.5. Пусть задана группа С с единицей е. Рассмотрим пары функций (/, ф), для которых выполнены следующие условия.

1. Функция / : [0,а] ^ К — пилообразная, причём: (1а) /(0) = 0 и /(г) > 0 при г £ (0,а];

(1Ь) существует такое 6 > 0, та о / (^ = £ при всех £ £ [0, 6].

ф

ла [0, а)) подмножестве А С [0,а) полной меры Лебега, то есть

Ц-ь([0, а) \ А) = 0, и действует на С, причём: ф

[а, в] С А, то ф|[а,р] = сош!; (2Ь) 0 € А и ф(0) = е. Следовательно [0, а) С А для некоторого а > 0 и ф(Ъ) = е для всех I € [0, а). Далее будем считать, что выполняется равенство а = Ь.

Всякая такая пара функций является маршрутом на базе группы С. Число а при этом — длина маршрута. Если задан маршрут М = (/, ф) длины а, то функции / и ф называются его первой и второй компонентой, соответственно.

Их смысл состоит в том, что / связана с радиусом полноты на X: в

точке, определяемой маршрутом М длины а, радиус полноты равен /(а)7 ф

Если в условии (1а) Определения 3.5 неравенство /(а) > 0 заменить равенством /(а) = 0, а остальные условия оставить неизменными, то получается понятие экзит-маршрута (см. рис. 3.2). К экзит-маршрутам также относится нулевой экзит-маршрут М0 = (фо), длина которого равна нулю. На множестве {0} от определяется равенствами /0(0) = 0 и фо(0) = е.

Определение 3.7. Пусть заданы два маршрута одной и той же длины а: М = (/, ф) и М = (/, ф), причём функция ф определена на множестве А С [0,а), а ф — на множестве А и А С А. Первые компоненты маршрутов М и М совпадают. Считается, что маршрут М получен из М заполнением дыр, если ф= ф. В этом случае М получен из М прокалыванием дыр.

В частности, каждый маршрут можно получить из самого себя как операцией заполнения пустого множества дыр, так и операцией прокалыва-

М

если не существует маршрута М, получепного из М заполнением дыр, от-М

Лемма 3.8. Пусть М = (/, ф) — маршрут длины а. Тогда существует единственный маршрут М = (/, ф) без дыр, полученыый из М заполнением дыр.

Далее доказывается, что:

Теорема 3.16. Для любого маршрута М существует единственный маршрут М без дыр и возвращений, который совпадает с М или получен из М выполнением удаляющей процедуры.

Определение 3.17. Для маршрутов М1 = (/1, ф^ и М2 = (/2, ф2) выполнено отношение М1 тМ2, если существует маршрут М = (/, ф) без дыр и без возвращений, который можно получить удаляющими процедурами как из М1? так и из М2. Из Леммы 3.8 и Теоремы 3.16 следует, что т

т

отношение эквивалентности, и корректно определено пространство X* = Х/т.

В дальнейшем, маршрутами определяются элементы пространства X*, а само это пространство проще обозначить X, не различая в нём эквивалентные маршруты: достаточно только указать на их эквивалентность, если это необходимо. При этом каждый маршрут при необходимости можно заменить эквивалентным ему маршрутом.

В третьем параграфе, доказывается теорема о существовании вертикальных К-деревьев, которые являются локально полными подобно однородными неоднородными пространствами, а также рассматриваются их свойства. Для этого выполнено построение примера вертикального К-дерев а X, не являющегося строго вертикальным.

В первую очередь па пространстве X определяется частичный порядок. Маршрут М = (/, ф) длины а предшествует маршруту М = (/, ф) длины а и обозначается М ^ М, если а ^ а, /|[0,а] = /, функции ф и ф определены на множествах А и А соответственно, причём А С А и ф\д = ф. На языке лабиринта от ношение М ^ М означает, что любой маршрут от входа до точки М обязательно пройдёт через точку М. Далее, доказано, что:

Теорема 3.18. Частично упорядоченное множество (X, является нижне-полулинейной Л-полурешёткой.

Лемма 3.19. Пространство (Х,ё) является геодезическим.

На основании данных теорем и леммы, получаем:

Следствие 3.20. Пространство (X, ё) является К-деревом.

Дальнейшая цель состоит в том, чтобы показать, что К-дерево X является локально полным и подобно однородным.

Теорема 3.21. К дерево X локально полно, причём радиус полноты в точке, задаваемой маршрутом М = (/, ф) длины а, равен с(М) = /(а).

Далее изучается группа 81ш(Х) подобий пространства X и её подгруппа 1вош(Х) движений с тем, чтобы показать подобную однородность X.

В первую очередь па X задается группа гомотетий. Гомотетией пространства X с коэффициентом к > 0 называется отображение кк : X ^ X,

М = ( , ф )

длины а, а функция ф задана та множестве А С [0, а). Тогда кк(М) определяется как маршрут Мк = (/к, фк) длины к • а, в котором:

1- /к (0 = к • ¡(Ъ/к) при всех I € [0,к •а};

2. Область определения Ак функции ф^ определена условием £ € Ак

/ € А

3. ф^(^ = ф(£/к) при всех I € Ак.

Более топким является определение подгруппы Г в 1вош(Х), которая транзитивно действует на множестве Х\ = с-1(1). Для этого требуется ввести следующую операцию над маршрутами:

Определение 3.22. Пусть даны два маршрута М1 = (f1, ф1), М2 = (1'2, ф2) € X длин 01 и а2 соответственпо, А1,А2 — области определения функций ф1 и ф2. Их конкатенацией называется маршрут М = М1 0 М2, определённый следующим образом.

Пусть число Ь > 0 таково, что /2^) =Ь, и ф2(Ъ) = е при всех £ € (0, Ь). Также считается, что Ь < а1). Тогда марш рут М10М2 = (^0 /2, ф10ф2) задаётся условиями:

1. Длина М1 0 М2 равна а = а1 + а2 + /1(а1) — 26.

2.

если £ ^ а1,

/1 ((11) + а,1 — г, если «а < г < а,1 + ¡1(0,1) — 6,

/2^ — а1 — /1(а1) + 26), если а1 + /1(а1) — 6 ^ £ ^ а.

В общем случае маршрут М1 0 М2 имеет элементарное возвращение с центром в точке Ь0 = а1 + /1(а1) — 6, которое следует удалить.

Далее доказывается, что:

Теорема 3.23. Множество Х1 = с—^^ С X по отношению к опера-

0

После чего показано, что группа 1вош(Х) действует на Х1 С X тран-зитивно и в итоге получен основной результат результат:

Теорема 3.24. Пространство X является локально полным подобно однородным неоднородным К-деревом. При этом X вертикально, но не строго вертикально.

Если при рассмотрении пространствах, вместо пилообразных функ-

1

ций, то получается следующая теорема существования:

Теорема 3.25. Существует локально полное подобно однородное неоднородное К-дерев о X, не являющееся вертикальным.

Результаты работы.

В ходе проведенного исследования получены следующие результаты:

1. Рассмотрена геометрия строго вертикальных К-деревьев и произведена их классификация;

2. Рассмотрены отображения К-деревьев, сохраняющие расстояние один, не являющиеся изометрией;

3. Показано, что число ветвления вертикального, но не строго вертикального К-дерева как минимум континуально;

4. Доказана теорема о существовании вертикальных К-деревьев, не являющихся строго вертикальными, и исследованы их свойства.

Апробация работы.

Результаты исследований были представлены на следующих научных мероприятиях:

1. Всероссийская молодёжная школа-конференция "Лобачевские чтения — 2018", Казанский федеральный университет, г. Казань, 23 - 28 ноября 2018 г.;

2. Международная конференция "Классическая и современная геометрия", Московский педагогический государственный университет, г. Москва, 22 - 25 апреля 2019 г.;

3. Международная научная конференция "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования", с. Цей, Республика Северная Осетия-Алания, 15 - 20 июля 2019 г.;

4. Международная конференция "Современная геометрия и ее приложения - 2019", Казанский федеральный университет, г. Казань, 4-7 сентября 2019 г.;

5. Международная конференция по геометрическому анализу в честь 90-летия академика Ю.Г. Решетняка, Институт математики им. С.Л. Соболева, г. Новосибирск, 22 - 28 сентября 2019 г.;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Булыгин Алексей Иванович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д., Отображения семейств множеств // ДАН СССР. - 1970. - Т. 190, № 3. - С. 502-505.

2. Алексеевский Д.В., Sn и En — единственные римановы пространства, допускающие существенное конформное преобразование // УМН. — 1973. - Т. 28. - № 5(173). - С. 225-226.

3. Алексеевский Д.В., Кимельфельд Б.Н., Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий // Матем. заметки — 1978. - Т. 24. - № 1. - С. 103-110.

4. Андреев П.Д., Полулинейные метрические полурешётки на R-деревьях // Изв. вузов. Матем. — 2007. — № 6. — С. 3-13.

5. Андреев П.Д., Берестовский В.Н., Размерности R-деревьев и самоподобные фрактальные пространства неположительной кривизны // Мат. Труды. - 2006. - 9(2). - С. 3-22.

6. Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В., Однородные пространетва: теория и приложения // Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008.

7. Берестовский В.Н., Об R-дереве Урысона // Сиб. матем. журн. — 2019. - 60:1 - С. 10-19.

8. Берестовский В.Н., Однородные пространства с внутренней метрикой // ДАН СССР. - 1998. - Т. 301 - С. 268-271.

9. Берестовский В.Н., Однородные пространства с внутренней метрикой // Докт. лисе.. Ин.-т матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1990. — 269 с.

10. Берестовский В.Н., Подобно однородные локально полные прост,рант,ва с врутренней метрикой // Изв. вузов. Математика. — 2004. Л'° 11. С. 3-22.

11. Берестовский В.H., Никоноров Ю.Г., Рима/новы многообразия и однородные геодезические // Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012.

12. Берестовский В.Н., Субметрии пространственных форм, неотрицательной кривизны // Сиб. матем. журн. — 1987. — Т. 35. - № 4. -С. 44-56.

13. Биркгоф Г., Теория решёток // М.: Наука, 1984.

14. Богатый С.А., Фролкина О.Д., Изометричность отображений, сохраняющих периметр // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2004. Л'° 1. С. 3-11.

15. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов C.B., Курс метрической геометрии., М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

16. Гретцер Г., Общая, теория решет,ок // М.: Мир, 1982.

17. Гундырев И.А., Подобно однородные пространства с внутренней метрикой // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. — Омск. — 2015.

18. Гундырев И.А., О подобно однородных локально-компактных пространствах с внутренней метрикой // Изв. вузов. Матем. — 2008. — Л" 4. - С. 28-42.

19. Гундырев И.А., Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой // Матем. тр. — 17:2 (2014) — С. 132-141.

20. Гундырев И.А., Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой. II // Матем. тр. — 18:1 (2015) - С.15-26.

21. Егоров И.П., Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях // М.: ВИНИТИ Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. — 1984. - № 16. - С. 81-126.

22. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций, и функционального анализа // М.: Наука, 1976.

23. Сосов Е.Н., О конечной компактности и полноте некоторых пространств отображений с метрикой Буземана // Изв. вузов. Математика. - 1993. - № И. - С. 62-68.

24. Сосов Е.Н., Об одном одуле в геометрии Гильберт,а // Изв. вузов. Математика. — 1995. — № 5. — С. 78-82.

25. Урысон П.С., Пример метрического пространства, нигде не удовлетворяющего второй аксиоме счетности // П.С. Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. Т. II. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. С. 778-780.

26. Шилов Г.Е., Математический анализ. Специальный курс // М.: Наука, 1961. - 436 с.

27. Alexandrov A.D., On a generalization of Riemannian geometry // Berlin: Jahresber. Humb. Univ., 1955.

28. Berestovskii V.N., Guijarro L., Metric Characterization of Riemannian Submersions jj Ann. Global Anal. Geom. — 2000. — V. 18. - № 6. -P. 577-588.

29. Berestovskii V.N., Plaut C., Covering Ш-trees, Ш-free groups and dendrites // Adv. Math. - 2010. - 224 (5). - P. 1765-1783.

30. Berestovskii V.N., Plaut C., Homogeneneous Spaces of Curvature Bounded Below // J. Geom. Anal. - 1999. V. 9. № 2. - P. 203-219.

31. Berestovskii V.N., Pathologies in Aleksandrov spaces of curvature bounded above // Siber. Adv. Math. - 2002. - V. 12, № 4. - P. 1-18.

32. Bestvina M., R-trees in topology, geometry and group theory // Handbook of geometric topology, edited by R.J.Daverman, R.B.Sher. — Elsevier Science. — North-Holland, Amsterdam, London, New York. — 2002. — P. 55-91.

33. Bridson M., Haefliger A., Metric spaces of non-positive curvature, Comprehensive Studies in Mathematics, vol. 319, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

34. Busemann H., Similarities and differentiability // Tohoku Math. J. — 1957. V. 9. AM. P. 56-67.

35. Buyalo S., Schroeder V., Embedding of hyperbolic spaces in the product of trees // Geom. Dedicata 113, 75-93 (2005).

36. Buyalo S., Lectures on spaces of curvature bounded above // University of Illinois, Urbana-Champaign, spring semester 1994-1995 a.y., parts I—III.

37. Crawley P., Dilworth R., Algebraic Theory of Lattices j j SEnglewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1973.

38. Chiswell I., Introduction to A-trees j j Queen Mary & Westfield College, University of London, UK, 2001, 328 p.

39. Deng S., Homogeneous Finsler Spaces // Springer Monographs in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2012.

40. Dru^u C., Sapir M., Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups (with an appendix by Denis Osin and Mark Sapirj j j Topology, 44, 5 (2005), 959-1058.

41. Dyubina A., Polterovich I., Explicit constructions of universal R-trees and asymptotic geometry of hyperbolic spaces // Bull. Lond. Math. Soc. — 2001. - V. 33. - P. 727-734.

42. Gromov M., Hyperbolic groups j j Essays in Group theory (S.M. Gersten ed.), MSRI-publications 8, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1987, P. 75-264.

43. Gromov M., Asymptotic invariants of infinite groups j j Geometric group theory (G. Niblo and M. Roller eds.), LMS Lecture Notes 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

44. Papadopoulos A., Metric spaces, convexity and nonpositive curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Phisics, 6. EMS, 2005.

45. Rips E., Sela Z., On systems of equations in free groups. I // Geom. Funct. Anal. 4, No. 3, 337-371 (1994).

46. Rodionov E.D., Slavskii V.V., Conformai deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae - 2002. - V. 43. P. 271-282.

47. Tits J., A "theorem of Lie-Kolchin" for trees j j Contributions to Algebra, Academic Press, New York, 1977, P. 377-388.

48. Lovas R., Szilasi J., Homotheties of Finsler manifolds j j SUT J. Math. 46, No. 1, 23-34 (2010).

49. Urysohn P.S., Beispiel eines nirgends separablen metrischen Raumes j j Fund. Math. - 1927. Y. 9. P. 119-121

Публикации автора по теме исследования

Публикации в журналах списка ВАК

50. Andreev P.D., Bulygin A.I., On the Vertical Similarly Homogeneous R-Trees // Lobachevskii J. Math. - 2019. - 40 (2). - P. 127-139.

51. Андреев П.Д., Булыгин А.И., О геометрии подобно однородных R-деревъев // Изв. вузов. Матем. — 2020. — № 4 — С. 3-15.

52. Булыгин А.И., О некоторых свойствах подобно однородных R-деревъев // Владикавказский математический журнал. — 2020. — Том 22. С. 33-42.

Прочие публикации

53. Андреев П.Д., Булыгин А.И., Вертикальные R-дepeвья // Труды математического центра имени И.И. Лобачевского "Лобачевские чтения _ 2018" ^ т. 56 - 2018. - С. 21-24.

54. Булыгин А.И., О границе строго вертикального R-дерева // Ломоносовские научные чтения студентов, аспирантов и молодых учёных - 2018: сборник материалов конференции [Электронный ресурс]; Сев. (Арктич.) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова. — Электронные текстовые данные. — Архангельск: ИД САФУ, 2018. — С. 157-160.

55. Булыгин А.И., О подобно однородных R-деревьях // Классическая и современная геометрия: Материалы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.Т. Базылева (Москва, 22-25 апреля 2019 г.) — Москва: МИГУ, 2019. — С. 65-66.

56. Булыгин А.И., О применении критериев порядка при построении вертикального R-дерева // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XV Международной научной конференции (с. Цей, 15-20 июля 2019 г.). — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2019. - С. 63-64.

57. Булыгин А.И., Геометрия подобно однородных R-деревьев // Международная конференция "Современная геометрия и её приложения -2019": сборник трудов. — Казань: Издательство Казанского университета, 2019. - С. 42-46.

58. Bulygin A.I., On the vertical similarly homogeneous R-trees // International Conference on Geometric Analysis in honor of 90th anniversary of academician Yu.G. Reshetnyak, 22-28 of September 2019: Abstracts / ed. by S.G. Basalaev; Novosibirsk State University. — Novosibirsk: PPC NSU, 2019. - P. 36-38.

59. Булыгин А.И., Об отображениях R-деревьев, сохраняющих расстояние один // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского "Лобачевские чтения - 2019" — т. 56 — 2019. — С. 38-40.

60. Булыгин А.И., Геометрия подобно однородных R-деревьев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 60 // Материалы Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии 2021 — Казань: Изд-во Академии наук РТ - 2021. - Т. 60. - С. 374.