Гамильтонова геометрия уравнений ассоциативности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Стрижова Надежда Александровна

• Стрижова Надежда Александровна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Стрижова Надежда Александровна

2 Цели и задачи

3 Научная новизна

4 Теоретическая и практическая значимость работы

5 Методология диссертационного исследования

6 Положения, выносимые на защиту

7 Соответствие паспорту научной специальности

8 Степень достоверности и апробация результатов

9 Публикации

10 Структура и объем работы

11 Благодарности

Глава 1 Предварительные сведения

1.1 Уравнения ассоциативности

1.2 Системы гидродинамического типа

1.3 Уравнения ассоциативности в форме систем гидродинамического типа, примеры

1.4 Критерий Богоявленского-Рейнольдса

1.5 Канонически гамильтонова редукция эволюционного потока на множество стационарных точек интеграла

Глава 2 Классификация уравнений ассоциативности относительно наличия гамильтонова оператора Дубровина—Новикова первого порядка в случае трех примарных полей

2.1 Постановка задачи

2.2 Преобразования, сохраняющие наличие гамильтонова оператора Дубровина-Новикова первого порядка

2.3 Классификация уравнений ассоциативности в случае трех при-марных полей относительно наличия гамильтонова оператора Дубровина-Новикова первого порядка

2.4 Системы гидродинамического типа, получаемые из уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей при заменах (2.1)

Глава 3 Уравнения ассоциативности с антидиагональной матрицей щ и их редукции

3.1 Постановка задачи о редукции уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей

3.2 Редукция уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей Пу в случае трех примарных полей

3.3 Интегрируемость по Лиувиллю построенной редукции уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей

3.4 Интегралы уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей

3.5 Редукция уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае четырех примарных полей

Глава 4 Приложение

4.1 Промежуточные вычисления в теореме о классификации 2.3.3 для уравнений ассоциативности типа 1)

4.2 Функция Q(u,ux) для интеграла I (3.7) системы (3.2)

4.3 Гамильтониан редукции потока вида (3.12) с гамильтонианом

4.4 Интеграл второго порядка уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей

4.5 Первый интеграл уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае четырех примарных полей, квадратичный

по скоростям

4.6 Гамильтониан редукции уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей щ в случае четырех примарных полей

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гамильтонова геометрия уравнений ассоциативности»

Введение

1 Актуальность темы и степень ее разработанности

Уравнения ассоциативности возникли в работах Виттена, Дейкхрафа, Вер-линде, Верлинде как уравнения на свободную энергию двумерных топологических теорий поля. Виттен в работе [27] ввел рекурсионные соотношения для п-точечных корреляционных функций в роде 0, причем двухточечные корреляторы определяют метрику, трехточечные — структурные функции. Дейкхраф, Верлинде и Верлинде в статье [14] доказали, что данные структурные функции могут быть выражены в третьих производных свободной энергии Г, а также что условия ассоциативности являются уравнениями в частных производных третьего порядка типа Монжа-Ампера на функцию Г. В работе [15] Дубровин построил теорию уравнений ассоциативности, доказал их интегрируемость, а также развил геометрический подход к уравнениям ассоциативности — теорию фробениусовых многообразий, возникающих в различных задачах математики и математической физики. Уравнения ассоциативности имеют огромное значение для некоторых задач исчислительной геометрии, квантовых когомологий, теории инвариантов Громова-Виттена.

Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка играют важную роль в эйлеровой гидродинамике, газовой динамике. В связи с развитием теории интегрируемых систем возрос интерес к уравнениям такого типа — уравнениям Уизема, которые возникают при усреднении для важных интегрируемых уравнений типа уравнений Кортевега - де Фриза (КдФ), йгп-Гордона и т.п. Дубровин и Новиков ввели понятие систем гидродинамического типа для описываемого класса уравнений и разработали для них дифференциально-геометрический гамильтонов формализм [4]. На основе этого подхода были развиты методы интегрирования как диагонализуемых систем гидродинамического типа (см. статью [12]), так и недиагонализуемых систем

гидродинамического типа (см. работы [16, 17, 18]).

В работе [25] (см. также обзор [9]) Мохов доказал, что уравнения ассоциативности эквивалентны интегрируемым недиагонализуемым системам гидродинамического типа. Это, в частности, позволило поставить вопрос о гамиль-тоновой геометрии уравнений ассоциативности в представлении в виде систем гидродинамического типа, которому в основном и посвящена первая часть настоящей работы. В статье Мохова и Ферапонтова [10] было установлено, что есть и уравнения ассоциативности, обладающие гамильтоновой структурой первого порядка типа Дубровина-Новикова, и уравнения, у которых таких гамильтоно-вых структур не существует, и были приведены конкретные примеры уравнений ассоциативности обоих типов. При этом возникла важная проблема описания или классификации уравнений ассоциативности, для которых существует га-мильтонова структура Дубровина-Новикова первого порядка.

В дальнейшем был опубликован ряд статей, в которых по той же схеме были найдены другие примеры уравнений ассоциативности, обладающих гамильтоно-выми структурами первого порядка типа Дубровина-Новикова, (см., например, статьи [22, 23]). Мохов выдвинул гипотезу, что примеры, построенные в работах [22, 23], связаны с примером из статьи [10] преобразованиями, сохраняющими гамильтоновость рассматриваемого типа.

В настоящей работе дана полная классификация уравнений ассоциативности относительно наличия гамильтоновой структуры Дубровина-Новикова первого порядка в случае трех примарных полей, а также найдены явные преобразования, которые связывают системы гидродинамического типа, эквивалентные уравнениям ассоциативности, рассмотренные в статьях [22, 23], и их гамильто-нову структуру Дубровина-Новикова первого порядка с системой гидродинамического типа, эквивалентной уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей пу [25], и ее гамильтоновой структурой Дубровина-Новикова первого порядка [10].

Вторая часть настоящей работы посвящена канонически гамильтоновым ре-

дукциям уравнений ассоциативности на множество стационарных точек невырожденного интеграла.

Канонически гамильтоновы редукции на множество стационарных точек интеграла — общая конструкция Мохова [7, 8]. Связь гамильтоновых формализмов стационарных и нестационарных задач была обнаружена Новиковым в [11], где было показано, что при ограничении уравнения КдФ на множество стационарных решений высших уравнений иерархии КдФ сохраняется свойство гамильтоновости. Позднее этот результат был обобщен Богоявленским и Новиковым [1] для двух коммутирующих однокомпонентных гамильтоновых потоков специального вида с гамильтоновым оператором Гарднера-Захарова-Фаддеева, а именно было доказано, что один из таких коммутирующих потоков является гамильтоновым на множестве стационарных решений другого потока. Также Гельфанд и Дикий (см. статьи [2, 3]) рассматривали обобщение для систем типа Лакса, гамильтоновых относительно пуассоновой структуры Гельфанда-Дикого, ограниченных на множество неподвижных точек высших коммутирующих потоков соответствующей иерархии. Теорема Мохова [7, 8] дает наиболее общий подход к этому вопросу, а именно, имеет место следующий важный принцип: любая эволюционная система, ограниченная на множество стационарных точек своего невырожденного интеграла, является канонической гамильтоновой системой.

Задача ограничения уравнений ассоциативности на множество стационарных точек невырожденного интеграла была поставлена в [19], однако не была решена в виду большой вычислительной сложности. В работе представлены построенные редукции на множество стационарных точек интеграла уравнений ассоциативности в случае трех и четырех примарных полей, а также доказана интегрируемость по Лиувиллю указанной редукции уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей.

2 Цели и задачи

Целью работы является исследование гамильтоновой геометрии уравнений ассоциативности, в частности поиск всех систем гидродинамического типа, эквивалентных уравнениям ассоциативности в случае трех примарных полей и обладающих гамильтоновой структурой Дубровина-Новикова первого порядка, а также изучение гамильтоновых редукций уравнений ассоциативности.

3 Научная новизна

Автором диссертации впервые дан исчерпывающий ответ на вопрос о наличии гамильтоновой структуры Дубровина-Новикова первого порядка для уравнений ассоциативности в виде систем гидродинамического типа в случае трех примарных полей. Также впервые в явном виде построены редукции уравнений ассоциативности на множество стационарных точек интеграла в случае трех и четырех полей, доказана интегрируемость по Лиувиллю указанной редукции в случае трех примарных полей.

4 Теоретическая и практическая значимость работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения уравнений ассоциативности, фробениусовых многообразий, топологических теорий поля, недиагонали-зуемых систем гидродинамического типа и интегрируемых гамильтоновых динамических систем.

5 Методология диссертационного исследования

Для доказательства основных результатов диссертации использованы следующие методы и конструкции: методы теории уравнений ассоциативности [15] и их связи с недиагонализуемыми системами гидродинамического типа [25],

[9], методы римановой геометрии, методы гамильтоновой теории систем гидродинамического типа, критерий Богоявленского-Рейнольдса [13] гамильтоно-вости трехкомпонентных недиагонализуемых систем гидродинамического типа, конструкция Мохова-Ферапонтова-Гальвао-Нутку [19], схема Ленарда-Магри, конструкция Мохова [7, 8] ограничения эволюционного потока на множество стационарных точек интеграла.

6 Положения, выносимые на защиту

1. Получена полная классификация уравнений ассоциативности относительно наличия гамильтоновой структуры типа Дубровина-Новикова первого порядка в случае трех примарных полей.

2. Найдены все системы гидродинамического типа, которые эквивалентны уравнениям ассоциативности, получающимся из уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу заменами, сохраняющими наличие гамиль-тоновой структуры Дубровина-Новикова первого порядка.

• Показано, что системы гидродинамического типа, эквивалентные уравнениям ассоциативности, рассмотренные в статьях [22, 23], и их гамиль-тоновы структуры Дубровина-Новикова первого порядка связаны такими заменами с системой гидродинамического типа, эквивалентной уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей пу, рассмотренной в статье [25] (см. также обзор [9]), и ее гамильтоновой структурой Дубровина-Новикова первого порядка [10].

3. Построена каноническая гамильтонова редукция уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей на множество стационарных точек невырожденного интеграла.

• Получен явный вид гамильтониана канонической редукции уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей.

• Обнаружено, что метрика гамильтониана лагранжевой системы, определяемой рассматриваемым интегралом, имеет нулевую скалярную кривизну.

• Построен интеграл уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей, квадратичный по производным второго порядка.

• Изучена геометрия иерархии потоков, коммутирующих с системой гидродинамического типа, эквивалентной рассматриваемым уравнениям ассоциативности, и их редукций на множество стационарных точек интеграла.

• Доказана интегрируемость по Лиувиллю построенной редукции.

4. Построена канонически гамильтонова редукция уравнений уравнений ассоциативности на множество стационарных точек невырожденного интеграла в случае четырех примарных полей.

• Получен явный вид гамильтонианов канонической гамильтоновой редукции уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае четырех примарных полей.

7 Соответствие паспорту научной специальности

В диссертации исследуется гамильтонова геометрия уравнений ассоциативности, а также изучаются канонически гамильтоновы редукции уравнений ассоциативности, в силу чего диссертация соответствует паспорту специальности 01.01.04 «Геометрия и топология» по направлению «Симплектическая, контактная и пуассонова геометрия».

8 Степень достоверности и апробация результатов

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:

• Семинар "Геометрия, топология и математическая физика", механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. С.П. Новиков, В.М. Бухштабер, в 2014, 2015 и 2019 годах.

• Семинар кафедры дифференциальной геометрии и приложений, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. А.Т.Фоменко, в 2018 году.

• Семинар "Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений", Независимый Московский университет, рук. И.С. Красильщик, в 2019 году.

• Семинар "Современная математическая физика", Объединенный институт ядерных исследований, в 2019 году.

• Семинар "Узлы и теория представлений", механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. В.О. Мантуров, Д.П. Ильютко, И.М. Никонов, Д.А. Федосеев, в 2019 году.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2014", 7 — 11 апреля 2014, Москва, Россия.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2015", 13 — 17 апреля 2015, Москва, Россия.

• Международная молодежная школа-конференция "Шестая летняя школа по геометрии и математической физике", 24 — 29 июня 2016, Красновидово, Московская область, Россия.

• 2nd International Scientific Conference "Science of the Future", 20 — 23 September 2016, Kazan, Russia.

• 4th International Workshop "Analysis, Probability and Geometry", 26 сентября — 1 октября 2016, Москва, Россия.

• International Conference "Dynamics in Siberia", 26 February — 4 March 2017, Novosibirsk, Russia.

• "Physics and Mathematics of Nonlinear Phenomena PMNP2017: 50 years of 1ST", 17 — 24 June 2017, Gallipoli, Italy.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2018", 9 — 13 апреля 2018, Москва, Россия.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2019", 8 — 12 апреля 2019, Москва, Россия.

• 16-th Conference "Mathematics in Technical and Natural Sciences", 30 June — 5 July 2019, Koscielisko, Poland.

9 Публикации

Основные результаты по теме диссертации представлены в девяти работах [28]—[36]. Статьи [28]—[30] опубликованы в рецензируемых научных журналах, входящих в базы данных SCOPUS, Web of Science и RSCI. Также результаты автора по теме диссертации представлены в 6 тезисах конференций [31]-[36]. Вклад автора диссертации и О.И. Мохова в совместных работах равноценный. Список работ приводится в конце автореферата.

10 Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во введении формулируются основные задачи и дан краткий обзор предшествующих работ и современного состояния исследований уравнений ассоциативности.

В Главе 1 содержатся определения, результаты и конструкции, необходимые для диссертации.

В Главе 2 содержатся результаты, связанные с гамильтоновыми структурами Дубровина-Новикова первого порядка систем гидродинамического типа, эквивалентных уравнениям ассоциативности в случае трех примарных полей.

В разделе 2.1 кратко поставлена задача и сформулирован основной результат Главы 2.

В разделе 2.2 введены преобразования, сохраняющие наличие гамильтонова оператора Дубровина-Новикова первого порядка для уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей, и дано доказательство этого свойства преобразований.

В разделе 2.3 содержится основной результат первой части работы: уравнения ассоциативности сведены указанными преобразованиями к нескольким каноническим типам и эти типы исследованы при помощи критерия Богояв-ленского-Рейнольдса относительно наличия гамильтоновой структуры Дубровина-Новикова первого порядка, что завершает доказательство полной классификации уравнений ассоциативности относительно наличия гамильтоновой структуры Дубровина-Новикова первого порядка.

В разделе 2.4 найдены все возможные системы гидродинамического типа, которые эквивалентны уравнениям ассоциативности, полученным при помощи рассматриваемых замен, сохраняющих свойство гамильтоновости, из уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примар-

ных полей. Также в разделе 2.4 найдены конкретные преобразования, связывающие системы гидродинамического типа, эквивалентные уравнениям ассоциативности и рассмотренные в [22, 23], и их гамильтонову структуру Дубровина-Новикова первого порядка с системой гидродинамического типа, эквивалентной уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей [25], и ее гамильтонову структуру Дубровина-Новикова первого порядка [10].

Глава 3 посвящена уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех и четырех примарных полей и ее канонически гамиль-тоновым редукциям на множество стационарных точек интеграла.

В разделе 3.1 поставлена задача ограничения уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей на множество стационарных точек невырожденного интеграла согласно статье [19].

В разделе 3.2 построена канонически гамильтонова редукция уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей и исследована ее геометрия.

В разделе 3.3 показана интегрируемость по Лиувиллю канонически гамиль-тоновой редукции уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей и изучены редукции потоков специального вида, коммутирующих с системой гидродинамического типа, эквивалентной указанным уравнениям.

В разделе 3.4 построен квадратичный по производным второго порядка интеграл системы гидродинамического типа, эквивалентной уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае трех примарных полей, а также изучены первые интегралы рассматриваемой системы гидродинамического типа, получаемые при помощи схемы Ленарда-Магри.

В разделе 3.5 построена канонически гамильтонова редукция уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей пу в случае четырех примарных полей.

Глава 4 содержит приложения с формулами из предыдущих разделов.

В Заключении формулируются полученные результаты, а также описаны возможные обобщения результатов и направления исследования.

11 Благодарности

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю О.И. Мо-хову за постановку интересных задач, неустанное внимание и важные замечания. Автор благодарит сотрудников кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова за непринужденную и научную атмосферу.

Исследования выполнены за счет грантов Российского научного фонда (гранты №16-11-10260, №18-11-00316).

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Уравнения ассоциативности

Пусть —(£1,£2, ...,£") - функция п переменных, удовлетворяющая двум сле-

дующим условиям: 1) матрица

_ д3— . ._

постоянна и невырожденна, 2) функции

д 3—

для любого £ задают структуру ассоциативной алгебры с базисом е1, е2,..., еп и умножением е^- о ек = с*к (£)е^.

Требование ассоциативности умножения

ег о (е^- о вк) = (ег о е3) о вк

накладывает на функцию —(¿1, ...,£") соотношения:

д3— д3— д3— д3—

грд--—— = «р*——---—— (11)

г д^д^' д^д£кд£г г дгРдРдг1 Шд^^'д^к 1 ' ;

Определение 1.1.1. Уравнениями ассоциативности или системой Виттена-Дейкхрафа-Верлинде-Верлинде (ВДВВ) называется система уравнений (1.1) на функцию — (£1,£2, ...,¿"0, удовлетворяющую вышеуказанным условиям 1, 2. Также отметим, что под числом примарных полей понимается количество переменных функции —, т.е. п.

Зависимость функции — (¿1, ¿2,..., от переменной ¿1 определена постоян-

ной матрицей пц:

Р (Л...,«") = 1 пи(«1)3 + Е 1 "и (Ф' + пи Лгц+

'>2 ¿>2 '>г (1 2)

+ Е1 пит2 + / (г2,...Х).

г> 2

Таким образом, уравнения ассоциативности являются уравнениями в частных производных на функцию /(£2, ...,£п) от п — 1 переменной.

Также отметим, что матрица пгу полностью задает уравнения ассоциативности.

1.2 Системы гидродинамического типа

Определение 1.2.1. Системой гидродинамического типа (одномерной) называется система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка следующего вида:

= Е А(и(х,г)), г = 1.....п. (1.3)

3 = 1

При локальных заменах переменных в системе гидродинамического типа (1.3) матрица А'(и(х,£)) ведет себя как аффинор (тензор типа (1,1)). Это означает, что системы гидродинамического типа — это дифференциально-геометрический объект, и их геометрия определяется геометрией соответствующих аффиноров.

Дубровин и Новиков ввели понятие систем гидродинамического типа и разработали дифференциально-геометрический гамильтонов формализм для них. Они ввели локальный однородный по степеням производных гамильтонов оператор первого порядка [4] (называемый впоследствии гамильтоновым оператором Дубровина-Новикова первого порядка)

й

Ки (и) = д" (и) Йх + Ь? (и)иХ, (1.4)

а также изучили его свойства.

Теорема 1.2.2 (Дубровин, Новиков [4]). Если (еЛ д—(и) = 0, то оператор К— (и) (1.4) является гамильтоновым тогда и только тогда, когда д— (и)

Л 7 — / \

является контравариантной плоской псевдоримановой метрикой, а Ьк (и) = —дгв(и)Г^к(и), где Г^к(и) —коэффициенты связности Леви-Чивиты, симметричной и согласованной с метрикой д—(и).

Также они ввели в статье [6] локальные однородные гамильтоновы операторы произвольного порядка (гамильтоновы операторы Дубровина-Новикова):

К'7 (и) = д—(и) ((-) " + ^ (и)иХ ("(-) " 1 + ■ ■ ■ + (с— («)<)+

^ ' ^ ' (1.5)

— к I '' к к к д7 ик

+ с— (и)и(п—1)их + Ь с—ь..к„ (и)иХ . . . и/) , и—) = "дХГ.

Впоследствии для систем гидродинамического типа были развиты методы интегрирования, причем оказалась существенной такая характеристика системы гидродинамического типа, как диагонализуемость. Диагональные полу-гамильтоновы системы гидродинамического типа проинтегрированы Царевым методом обобщенного годографа [12]. Интегрируемость недиагонализуемых систем гидродинамического типа исследовалась в работах [16, 17, 18]. Вопрос о диагонализируемости аффинора или возможности приведения системы гидродинамического типа к диагональному виду (приведение к так называемым инвариантам Римана) тесно связан с тензорами Нейенхейса и Хантьеса.

Определение 1.2.3. Тензор Нейенхейса аффинора А— (и) — тензор типа (1, 2), компоненты которого определены следующей формулой:

дАк дА— . дАа . дА?

N' _ А®—_к_ А®_— + А'_—_ А' —_—

—к = 7 ди" к ди" + а дик а ди— .

Аналогично, тензор Хантьеса аффинора А— (и) — тензор типа (1, 2), определяемый при помощи тензора Нейенхейса этого же аффинора:

н' = А' Аа Nв + N АаАв — А' /V" Ав — А' /V" Ав

Теорема 1.2.4 (Наап^еэ [21]). Если в любой точке окрестности у аффинора А' (и) есть полный набор собственных векторов, то аффинор А' (и) диаго-нализуем в окрестности тогда и только тогда, когда его тензор Хантьеса тождественно равен нулю.

1.3 Уравнения ассоциативности в форме систем гидродинамического типа, примеры

Мохов в статье [25] (см. также обзор [9]) доказал, что уравнения ассоциативности эквивалентны интегрируемым недиагонализуемым системам гидродинамического типа. Переход к эквивалентной системе гидродинамического типа заключается во введении новых переменных, являющихся третьими частными производными функции /(р2,... ,£п). Новые переменные связаны естественными соотношениями совместности на частные производные одной функции, а также уравнениями ассоциативности.

Приведем важные примеры уравнений ассоциативности и эквивалентных им систем гидродинамического типа, а также опишем их гамильтонову природу.

Пример 1.3.1 ([25, 9, 10]). Пусть матрица пц антидиагональна:

(пгц) =

0 Л 0 1 0

V1 0

Этой матрице пц соответствуют функция Р(£1,£2,£3) = 2>(£1)2^3 + 1 ¿1(^2)2 + /(¿2,£3) и уравнение ассоциативности (х = £2, t =

/ш (/хж£) /ххх/хЦ. (1.б)

Введем новые переменные А = /ххх, В = /хх^, С = /х^, О = /ш, связанные

соотношениями совместности

А = Дх,

Д = Cж,

С = Ас = А(А, Д, С)х = (Д2 - АС)х,

где Э выражено через А, В и С при помощи уравнения ассоциативности (1.6).

Таким образом, соответствующая система гидродинамического типа имеет вид [25, 9]

(1.7)

Система (1.7) обладает гамильтоновой структурой первого порядка Дубровина-Новикова, порождаемой плоской метрикой:

\ л, 1А „ \

2 Ах

А / 0 1 0 А

Д = 0 0 1 Д

\С J £ V -С 2Д 1С /

Мх =

/_3 1А 2 2А

2 А Д

Д

2 с

\

Д 3С 2(Д2 - АС)

/

А

¿ж

0 1 Ас

о 2 Дх 1

Дх

Сх

^0 2Сх (Д2 - АС)*у

(1.8)

соответствующий гамильтониан имеет вид Н = / С^ж [10].

Отметим, что система (1.7) бигамильтонова, а именно, обладает второй гамильтоновой структурой Дубровина-Новикова третьего порядка, согласованной с первой [19].

Пример 1.3.2 ([25, 9, 10]). Рассмотрим матрицу

(\ 0 0^

(Пу) =

0 0 1 1

Этой матрице Пу соответствуют функция ^(£х,£2,£3) = 1 (¿х)3 + ¿2£3 + /(¿2,£3) и уравнение ассоциативности (ж = £2, £ = £3)

/ / _ / / =1

(1.9)

В новых переменных А = /ххх, В = /тт+, С = /т«, О = /+« имеем соотноше-

X 7 «/ «х** (у ) о О } 1/1/1/

ния

At = Вх,

В = Cx,

С = Ох = О(А,В,С)х = (^)х , где Э выражено через А, В и С при помощи уравнения ассоциативности (1.9).

Таким образом, соответствующая система гидродинамического типа имеет вид [25, 9]

А В

/

0 0

1 0

0 1

\

\С) (1 + ВС)/А2 С/А В/Ау усу

А В

(1.10)

Система (1.10) не допускает никакой гамильтоновой структуры Дубровина-Новикова первого порядка [10].

Пример 1.3.3 ([22]). Пусть

(пгц) =

'0 —1 Л

— 1 1 0

V1 0

Матрице пц соответствуют функция

Р (Л^3) = 1(^)¥ +1 ^ (t2)2 —+ / (t2,t3) 2 2 2

и уравнение ассоциативности (х = ^, t = t3)

/ш + /ш/ххх />хх£/хй + /ххЛ/Ш ./х^^ + /ххх /"хй /хх4 0.

(1.11)

В новых переменных А = /ххх, В = /хх^, С = /х^, О = получаем

Аг = Вх,

В = Cx,

С = Ох = О(А, В, С )х =

в2+с 2+вс—АС А+В+1

ж

где Э выражено через А, В и С при помощи уравнения ассоциативности (1.11). Таким образом, соответствующая система гидродинамического типа имеет

вид

/

В

С

0 0

1 0

0 1

\ /А\

В

—2ВС—С—В2—С2 2АВ+2АС+В2—С 2+2В+С —А+В+2С

С

(1.12)

\ / г \ (А+В+1)2 (А+В+1)2 А+В+1 / / х

Как и система (1.7), система (1.12) бигамильтонова, она обладает гамильто-новыми структурами Дубровина-Новикова первого и третьего порядков.

Пример 1.3.4 ([23]). Рассмотрим матрицу

001

(Пу) =

010 V1 0 0/

как в примере 1.3.1.

Матрице Пу соответствуют функция ^(¿1, £2, £3) и уравнение ассоциативности

ххх () + /ш/ххг 05

где £ = £2, х = £3 (в отличие от примера 1.3.1, в котором х = £2, £ = £3). В новых переменных А = /ххх, В = /ххг, С = /хгг, А = получаем

2 (£1)2£3+2 £1(£2)2+/(£2,£3)

(1.13)

Аг = Вх, Вг = Cx,

С = Ах = А(А,В,С)х = (

С2—А В

где Э выражено через А, В и С при помощи уравнения ассоциативности (1.13). Соответствующая система гидродинамического типа имеет вид

(1.14)

А 0 1 0 А

В = 0 0 1 В

Vе > г —1 \В А—С2 В2 2С В/ 1С У

х

х

Система (1.14) бигамильтонова, она обладает гамильтоновыми структурами Дубровина-Новикова первого и третьего порядков.

Пример 1.3.5 ([23]). Пусть

(пгц) =

'0 —1 Л —1 1 0

0 °/

как в примере 1.3.3.

Матрице пц соответствуют функция

Р (Л^3) = 1(^)¥ + 1 ^ (t2)2 — + / (^3) 222

и уравнение ассоциативности

/ххх/ш /хх; Ухй + /хй/ххх /"хх; + /ш/хх; /"ей + Уххх 0,

где t = t2, х = ^ (вместо х = t2, t = t3 как в примере 1.3.3).

В новых переменных А = /ххх, В = /хх;, С = /X«, О = имеем

X ) О } О О ) ООО

А; = Вх,

В; = Cx,

С = Ох = О(А, В, С)х =

В2+С 2+ВС—АС—А А+В

(1.15)

где Э выражено через А, В и С при помощи уравнения ассоциативности (1.15). Таким образом, соответствующая система гидродинамического типа имеет

вид

А / 0

В = 0

УС J —2ВС—В—В

V (А+В)2

1 0

0 1

А В

—2ВС—В—В2—С2 2АВ+2АС+В2 — С2+А В—А+2С

С

(1.16)

(А+В)2 А+В / \-/х

Система (1.16) бигамильтонова, она обладает гамильтоновыми структурами Дубровина-Новикова первого и третьего порядков.

х

Пример 1.3.6 ([20]). Рассмотрим случай четырех примарных полей и антидиагональную матрицу

(Пу) =

^0 0 0 Л

0 0 10

0 10 0

у1 0 0 0у

Матрице соответствуют функция ^(£1, £2, £3, £4) = 1 (£1 )2£4 + £1£2£3+/(£2,£3,£4) и уравнения ассоциативности (х = £2, у = £3, г = £4)

2/ху,г /хуу /хху + /ууу /ххх 0, /х,г,г /хуу /хх,г + /уу-г /ххх 0,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стрижова Надежда Александровна, 2019 год

- - - -

Остальные промежуточные результаты для этого случая указаны в Приложении в разделе 4.1.

Уравнениям ассоциативности типа 2) эквивалентна система гидродинамического типа

А

В С

(

0 0

1 0

0 1

А

1)С (м- 1)(А2М-2ЛВ+В2+АС )-ЛС2 1)А-2ЛС \А(А-£) Л(Л-Б)2 Л(Л-Б) /

В С

(2.3)

Метрика Ну = Ну = Н^, построенная по тензору Хантьеса Ну аффинора системы гидродинамического типа (2.3), имеет следующий вид:

Н11 = -

2(д - 1)4 м6

Л5(Л - В)8

(Л6(д - 1)д3 + (д - 1) (В3 - АВС)2 - Л5(д - 1)(6д2В-

- 9С2 + 2дС2) - 2Л(д - 1)В (3В4 - 4АВ2С + А2С2) + Л2(3(-4+ + 3д + д2)В4 - 12(д - 1)АВ2С + (д - 1)дА2С2) - Л3(д - 1) (4(2+ + 3д)В3 - 8АВС - 7В2С2 + 2АС3) + Л4(14ВС2 + С4 + д2(9В2-

- 6АС) + д3 (3В2 + 2АС) - 2д (6В2 - 2АС + 7ВС2))),

¿12 = -

2(д - 1)4

(Л5д(-3 + 2д)С + (д - 1)А (В2 - АС2 +

Л5(Л - В)7

+ Л4 (-д2А + д3А + 6ВС - 2дВС - 2С3) + 2Л2( (2 - 3д + д2) А2С+ + 2В3С + АВ ((-2 + д + д2) В - 2С2)) + Л (АС - В2) (В2С+ + А (4(д - 1)В - С2)) + Л3( - 4д2АВ + дВ2С + С (-7В2 + АС) + + дА (4В + С2))),

¿13 = Л2,(д - ^ (Л4д2 + (В2 - АС)2 + Л2 (2(2 + д)В2 + (-3 + д)АС) -

Н

22

Л4(Л - В)6 - 4Л (В3 - АВС) + Л3 (-4дВ + 3С2)),

2(д - 1) Лл. т2л2/

Л(д - 1)(Л - В)2(Л2(д - 1)д + (д - 1)В2+

Л5(Л - В)8

+ Л (-2(д - 1)В + С2) )2 + (Л3 (-3 + 7д - 4д2) - (д - 1)2А2+ + 2Л2(-1 + д)В - Л(д - 1)В2)(Л4(д - 1)2д2 + (д - 1)2(В2-

- АС)2 - Л3(д - 1) (-4дВ + 4д2В - 5С2 + 2дС2) - Л(д - 1) (4(д-

- 1)В3 - 4(д - 1)АВС - 3В2С2 + 2АС3) + Л2(2 (2 - 3д + д3) В2+

г

X

+ 2(д - 2)(д - 1)2АС - 6(д - 1)ВС2 + С4))),

^23 = ДА - В)7 (а5 (9 - 14д + 4д2) С + (д - 1)А(В2 - АС)2+

+ А4 (-дА + д2А - 8ВС + 12дВС - 4С3) + А2((3 - 4д + д2)А2С+ + 4В3С + АВ ((-5 + 4д + д2) В - 4С2)) + А(-В2 + АС)(В2С+ + А (4(д - 1)В - С2)) - 2А3(3дВ2С + А( (-1 + д2) В+ + (1 - 2д)С2))),

^33 = А23((А-/В))6 (А4д(-3 + 4д) + А2 ((1 + 5д)В2 - 2АС) + (В2 - АС)2 +

+ А ((д - 1)2А2 - 4В3 + 4АВС) + А3 ((6 - 10д)В + 4С2) ). Метрика невырожденна при д =1, значит критерий Богоявленского-Рейнольдса применим. Для системы (2.3) первое условие критерия тождественно выполняется, из второго условия мы получаем функцию

а = 4 /п [А - В] - - /п р2, где

2

Р2 = 4А7(д - 1)д3 + (д - 1)2А2(В2 - АС)2 + А6( - 24д3В - 27С2 + 36дС2+ + 8д2(3В - С2)) - 2А(д - 1)(В2 - АС)( - 2В4 + 3АВ2С + А2(2(-1 + + д)В - С2)) + А4( - 2д3А2 + д4А2 + 32В3 - 36АВС - 14В2С2 + 6АС3+ + д2(А2 - 48В3 + 4АВС) + 4д(4В3 + 8АВС + 5В2С2 - 2АС3)) + + 2А5(д2(18В2 - 13АС) + д3(6В2 + 4АС) + д( - 24В2 + 9АС - 20ВС2) + + 2(9ВС2 + С4)) + А2(2(-2 + д)(д - 1)2А3С + 2АВ2С(20(д - 1)В-- С2) + В4( - 24(д - 1)В + С2) + А2(2(2 - 3д + д3)В2 - 16(д - 1)ВС2+ + С4)) - 2А3(2д3А2В + 24В4 - 29АВ2С + 3А2С2 + 2В3С2 - 2АВС3+ + 2д(14АВ2С - 9В4 + А2(В - С2)) - д2(6В4 - АВ2С + А2(4В + С2))),

(Р2)2 = - ^Г^ ^ ),

однако третье условие не выполнено. Например, в левой части условия

-а,13 + ада,3 + 4- Я13 - 1 ^13а,аа,в= 0,

имеющего вид 1

(А6д2(д2 - 1) + (д - 1)(В2 - АСч2В2 - АС -

3 о/.. плпл о2/^2 , /(/-/ЗА о\3(1П(..2

2А(д - 1)р2

АС)(12(д - 1)В3 - 8(д - 1)АВС - В2С2 + АС3) - 2А3(10(д2 - 1)В

10(д - 1)АВС + (5 - 8д)В2С2 + (3д - 2)АС3) + А2(5( - 5 + 4д + д2)В4-

- 30(д - 1)АВ2С + 4(д - 1)А2С2 - 4В3С2 + 4АВС3) + А4(2( - 2 - 9д+

+ 9д2 + 2д3)В2 + (3 + д - 6д2 + 2д3)АС - 4(-7 + 8д)ВС2 + 5С4) +

+ А5( - 8д3В - 21С2 + д2(4В - 6С2) + 4д(В + 7С2))) = 0,

коэффициент при В6 равен 1/(Ар2) и является ненулевым при любых А, д.

Подробные промежуточные результаты для этого и последующих случаев довольно громоздки и не приведены в настоящей работе.

Уравнениям ассоциативности типа 3) эквивалентна система гидродинамического типа

/ \ / ^

0 1В, (2.4)

А / 0

В = 0

УС > 2В- -В2-

t V А2

А

0 А

1 В

-А А / 1С У

Метрика к^ = к^ = построенная по тензору Хантьеса Як аффино-

ра системы гидродинамического типа (2.4), имеет следующий вид:

Нп =2((В + В3 + В2(С - 2) + А(С - 4)С)2 + А(3 + В2 + 2В(С - 2))(4-

- 2В2(С - 2) - 2В(С - 2)2 - 2(1 + 2А)С + АС2))/А8, Ни = - 2 (В (3 + В 2)(1 + В2 + В (С - 2)) + А2(С - 4)С (В + С - 2) + А( - 8-

- 10В(С - 2) - 2В3(С - 2) - 4С + С2 - 2В2(8 - 4С + С2)))/А7, ^13 =2(А(3 + В2 + 2В(С - 2))2 - (В + В3 + В2(С - 2) + А(С - 4)С)(В2+

+ А(В + С - 2)))/А7, ^22 =2(9 + 6В2 + В4 + 8В(С - 2) + А2(С - 4)С - 2А( - 2 + 4В + В2(С - 2) +

к

23

+ С ))/А6,

2(В2(В2 - 1) + А(6 - 10В - 2В2(С - 2) - 3С) + А2(С - 4)С)

А6

X

Н

33

2(В4 - 2АВ (3 + В (С - 2)) + А2(1 - 4С + С2))

А6

Метрика Ну невырожденна, значит критерий Богоявленского-Рейнольдса применим. Для системы (2.4) первое условие критерия тождественно выполняется, из второго условия мы получаем функцию

7 1 л 1 ,

а = 2 т А - ^ 1прз, где

рз = 4В3 (1 + В2 + В (С - 2)) + А3 (С - 4)С + А( - 27 + В4 - 36В (С - 2)- 8В3(С - 2) + В2 (-62 + 32С - 8С2)) + А2(4 - 2В2(С - 2) + 30С - 24С2 + 4С3 + 4В (-2 - 4С + С2)),

А20

(р3)2 = —8- ^ (Ну),

однако третье условие не выполнено. Например, в левой части условия -а,33 + а,3а,3 + 4ЯН33 - ^33 - 1 Н33а,«а,вНав = 0,

имеющего вид 1 -

2р3

(2В5 + АВ2(-14 + В2 - 4В(С - 2)) + А3( - 1 - 4С + С ) - 2А2(3(С-

2) + В2(С - 2) + В(6 + 4С - С2))) = 0,

коэффициент при В5, равный 1/р3, является ненулевым.

Уравнениям ассоциативности типа 4) эквивалентна система гидродинамического типа

/

А

В \С / (

или с учетом А2 = 1, д2 = 1

А

В

С

0 1 0

0 0 1

-АС2 -^А+2АС

АВ АВ2 АВ

1

0 1 0 ^

0 0 1

1+^В2+^АС-АС2 -^А+2АС

АВ АВ2 АВ /

А

В

С

А

В

С

(2.5)

X

г

X

Метрика hj = hj = H^Hja, построенная по тензору Хантьеса H-j аффинора системы гидродинамического типа (2.5), имеет следующий вид:

hn = - (2д2(Д3(£3 - ABC)2 - 2дАС( - 1 + AC2) + ( - 1 + AC2)2 + 2(3+

+ 7AC2) + М2 (3B4 + А2С2))) /(A5B8), hi2 =(2д2(д3А(В2 - AC)2 - 2AC( - 1 + AC2) + м(А + AB2C + AAC2) + + м2 ( - AB4C + 2АВ2 (1 + AC2) + A2 (2C - AC3)))) / (A5B7), 2д2(1 + 3AC2 + M2(B2 - AC)2 + M(2B2 + AC))

h

13

А4 В6

^22 = (2д(АдВ2( 1 + дВ2 + АС2)2 - (д2А2 + А(4 + дВ2))(д2(В2 - АС)2-- 2дАС( - 1 + АС2) + ( - 1 + АС2)2 + дВ2(2 + 3АС2))))/(А5В8), ^23 = - (2д(д3А(В2 - АС)2 + 2АдС( - 3В2 + 2АС) - 4АС( - 1 + АС2) + + д2 ( - АВ4С + АВ2 (1 + 2АС2) + А2 (С - АС3)))) / (А4В7), _ 2д (д2 А2 + 4А2С2 + А (4 + 5дВ2 + д2 (В2 - АС) 2))

^33 = А^В •

Метрика невырожденна, значит критерий Богоявленского-Рейнольдса применим. Для системы (2.5) первое условие критерия тождественно выполняется, из второго условия мы получаем функцию

а = 4 1п В - - 1п р4, где 2

,3^4 , \2гу2 { О , л., (г о2 о /I I ..2 ( о2 /|/~Л2\ , ..2/|2,

Р4 = 4А3С4 + А2С2 (-8 + 4д (5В2 - 2АС) + д2 (В2 - АС)2) + д2А2(1+ + д2 (В2 - АС)2 + 2д (В2 + АС)) + 2А(2 + д3 (В2 - АС)2 (2В2 - АС) +

+ д (6В2 + 4АС) + д2 (6В4 - АВ2С + А2С2)), А14В 22

Ы2 = —^

однако третье условие не выполнено. Например, в левой части условия -а,13 + ада,3 + 4- Я13 - 1 ^13а,аа,в= 0,

имеющего вид

Ад

2р4

(1 - 6АС2 + 5А2С4 + д3(В2 - АС2 (2В2 - АС) + д2( - 2ААВ2С3+

+ АА2С4 + В4(5 + АС2)) + 2д(АС(1 - 3АС2) + В2(2 + 8АС2))) = 0,

коэффициент при А2С4 равен А2д3/(2р4) и является ненулевым при любых А и д таких, что А2 = 1, д2 = 1.

>

Следствие 2.3.6. В случае трех примарных полей уравнения ассоциативности с Пи =0 в форме систем гидродинамического типа, и только они, обладают гамильтоновой структурой Дубровина-Новикова первого порядка

2.4 Системы гидродинамического типа, получаемые из уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей Пу в случае трех примарных полей при заменах (2.1)

Рассмотрим функцию Я(¿1 ,£2,£3) = 1 (^)2£3 +1 ^(£2)2 + /(£2,£3) с антидиагональной матрицей пу из примера 1.3.1, а также соответствующее ей уравнение ассоциативности (1.6)

/ =(/ )2 — { {

^ £££ ( ^ ХХ^ ) ^ XXX ^ х^^

и эквивалентную ему систему гидродинамического типа (1.7)

А / 0 1 0 А

В = 0 0 1 В

\С У £ V -С 2В 1С)

Отметим, что указанная матрица пу первого типа из теоремы 2.3.3 без необходимости замены (2.1).

Утверждение 2.4.1. Системы гидродинамического типа, эквивалентные уравнениям ассоциативности, получаемым из уравнения ассоциативности (1.6) с ан-

тидиагональной матрицей пу при произвольном невырожденном преобразовании (2.1), имеют следующий вид:

где

f0 1 0^

= 0 0 1 B

v^J t yq r sy lC7J

_ а3в3А2 + в27А(в7 - 3аО)В + а20А(3в7 - аО)C + 7О3B2

q _ _ ~ ~. _ +

(а3А + 72B - 7О4)2 -27 202В(7 + 7 30(72

r =

+ ,

(а3А + 72B - 7О4)2

А(в27(3а0 - в7) • + 2а302B - а27(аО + 3^7)C - 3а4в2А)

(а3А + 72B - 7OA7)2 -2703АВ - 74(72 + 72J2(2A4C7 + B2) (а3А + 72B - 7OA7)2 '

s =

3а2 в А - 024 - 7JB + 272 (7 а3А + 72B - 7OA7 '

Доказательство. Фиксируем F(t1, t2, t3) = 2(t1)2^ + 2t1^2)2 + f (t2, t3). Рассмотрим произвольное невырожденное преобразование (2.1)

t1 = t 1

t2 = а?2 + в? , а, в, 7, J = const, А = аО - в7 = 0. t3 = 7? + О?3

При переходе к переменным р г в функции F(t1,t2,t3) получим функцию

i7(f,i2,i3) = 7 (i1)2?2 + J (i1)2? + а2 р(?)2 + в2 ¿W + ав^^р3 + f (р2,р3),

где Д?2,?3) = f (t2(i2,F),t3(i2,i3)), с матрицей

(7ij ) =

Л д \

0 7 о

\

7 а2 ав о ав в2

/

Тогда уравнение ассоциативности сводится к уравнению вД (а2/233 + в2/222 - 2ав/22з) - аД (а2/ззз + в/з - 2ав/2зз) -

- /222/2зз - йз) - 72( /22з/ззз - /|зз) + 76 (/222/ззз - /22з/2зз) = О,

где

£ = дз/ /у к

Перейдем к эквивалентной системе гидродинамического типа согласно конструкции. Обозначим £2 = X,

£з = £ и введем новые переменные л-") — , В = (7 = I) = /щ. Согласно конструкции имеем следующую систему:

л" = ВХ,

В"? = С, (2.6)

С = Их = II (А", 5,С) = И^А* + IIввВх + ("х.

Выразим I" из уравнения ассоциативности

взДА - Зав2ДВ" + 3а2вДС - 62ЛС + 62В2 + 72(72 - 7бВ(7

азД + 72В - 76А

Полагая д = И^, г = Иц, й = И^ и выписывая систему (2.6) в матричном виде, получаем искомое. >

Оказалось, что системы гидродинамического типа из примеров 1.3.3 — 1.3.5, рассмотренные в статьях [22, 23], сводятся к системе гидродинамического типа (1.7), эквивалентной уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей пу, преобразованиями вида (2.1), сохраняющими наличие гамильтонового оператора Дубровина-Новикова первого порядка. Приведем явный вид преобразований независимых и полевых переменных для каждого случая.

1. Для системы гидродинамического типа (1.12), рассмотренной в [22], преобразования независимых переменных

' I1 = £

¿2 = а£2 , а = ±1, ¿з = -£2 + £з

и полевых переменных

А В С

< В =

аА - 3В + 3аС - В2 + АС В - 2аС + В2 - АС аС — В2 + АС

а = ±1.

2. Для системы гидродинамического типа (1.14), рассмотренной в [23], преобразования независимых переменных

г1 = £ <; г2 = в£, г3 = £2

в = ±1,

и полевых переменных

А = В2 - АС < В = вС

С = В

в = ±1.

3. Для системы гидродинамического типа (1.16), рассмотренной в [23], преобразования независимых переменных

г1 = £ г2 = в£ г3 = £2 + ¿£3

в = ±М = ±1,

и полевых переменных

А = В2 - АС < В =

(7 =

вС + ¿(В2 - АС) В + 2в^С + В2 - АС

в = ±М = ±1.

Глава 3

Уравнения ассоциативности с антидиагональной матрицей п^ и их редукции

3.1 Постановка задачи о редукции уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей

В этом пункте следуем изложению в обзоре [9].

Рассмотрим функцию Я (г1 ,г2,г3) = 1 (г1)2^3 +1 г1 (г2)2 + f (г2, г3) с антидиагональной матрицей пу из примера 1.3.1, а также соответствующее ей уравнение ассоциативности (1.6)

/ =(/ )2 — { { и эквивалентную ему систему гидродинамического типа (1.7)

(а\ / 0 1 0 а\

В = 0 0 1 В

vе > t V -С 2В Iе'

Система (1.7) является бигамильтоновой. Первая гамильтонова структура (1.8) является однородной локальной гамильтоновой структурой первого порядка, порождаемой плоской метрикой:

\ и и \

М1(А,В,С) =

/_3 1 А 2 2А

2 А В

В

2 с

V

В 3С 2(В2 - АС)

/

2 Ах

0 2 Вж

1

Вх

Сх

^0 2 Сх (В - АС)жу

соответствующий гамильтониан имеет вид Н1 = / Сйж [10].

Вторая гамильтонова структура, согласованная с первой, построена в статье [19]. Она является гамильтоновой структурой Дубровина-Новикова третьего

X

порядка

М2(А,В,С) =

V

0 0 1

0 1 —А

1 -А А2 + 2В

/

бж3

+

V

+

0 0 0

0 0 —2Ах

0 —Ах 3(Вх + ААх)

0 0 0 0 0 .Ахх

у0 0 Вхх + АХ + АА;

/

б2

¿ж2

7

А

бж'

(3.1)

с нелокальным гамильтонианом

2

б \—1 \2

¿ж

Н2 = - ^а т в + т в т с бж.

б \ —1

бж

б \—1

бж

Также были найдены высшие интегралы первого порядка [19]. В переменных и1, и2, и3, связанных с А,В,С по формулам Виета

А В

с

и1 + и2 + и3,

—1 (Л2 + и2и3 + Л3) 2

123

система (1.7) имеет вид:

/

1

,2

1

и1

и

\и3/

1 2

V

—и2 — - и3 и3 — и1 и2 — иЛ 1 и1

и3 — и2 —и1 — - и3 и1 — и2 и2

и2 — и3 и1 — и3 —и1 — - U2J

= Ж (и)их

(3.2)

Координаты и1, и2, и3 являются плоскими для метрики гамильтоновой структуры первого порядка (1.8) [10]:

М1(и) = -

1 —1 —Л —1 1 —1 —1 —1 1

б бж

(3.3)

ь

х

При помощи схемы Ленарда-Магри, примененной к казимирам гамильтоновой структуры первого порядка M]j (u):

Лm • ■ Жm (u) j) = (u) j), (3A)

Km = J umdx, m = 1,2,3, были получены первые интегралы Im [19], квадратичные по скоростям:

ri f 1 / \ i j Л il (2u u u )/2 3 2\2/ 1\2

1 = (u)uxux = I 772 „ n3/„ 3 „ пз v(u — u ) (ux) +

! t (u2 - u1)3(u3 - u1)3

u2 - u1)2 + (u (u2 - u1)3(u3 - u1)3

+ ((u2u3)x - u1(u2 + u3)x)2) + (u22 ^з+У uTuX((u2u3)x- (3.5)

— u^u2 + u3)x)J dx,

интеграл 12 = J gj (u)uXcuxX dx получается из 11 при перестановке индексов 1 и 2. Первый интеграл I3 = —11 — I2 ввиду того, что K1 + K2 + K3 = J A(u) dx — казимир второй гамильтоновой структуры M2j(u).

Произвольная линейная комбинация квадратичных по скоростям первых интегралов 11,12 и казимиров обеих гамильтоновых структур Km, m = 1, 2,..., 5

Km = y umdx, m = 1, 2,3,

K4 = J (u1u2 + u2u3 + u1u3) dx, (3.6)

k 5 = /«w^,

определяет первый интеграл, также квадратичный по первым производным: 7 = А/1 +д12 + amKm = (gjj(u)uXcuX, + V(u)) dx = L(x,u, ux) dx, (3.7)

m=1

gij (u) = Agj (u) + дд2(u), А, д = const,

3

V(u) = ^^ amum + a4 (u1u2 + u2u3 + u1u^ + a5u1u2u3, a1,..., = const.

m=1

При любых А,д, кроме

1) А = 0,

2) д = 0,

3) А = д,

метрика (и) невырождена, соответственно интеграл I (3.7) также невырожден. Построим в таком случае редукцию рассматриваемой системы (1.7) на множество стационарных точек интеграла I (3.7) согласно конструкции [7, 8], описанной в разделе 1.5, а также докажем её интегрируемость по Лиувиллю.

3.2 Редукция уравнений ассоциативности с антидиагональной матрицей п^ в случае трех примарных полей

Ограничим рассматриваемую систему гидродинамического типа (3.2)

/Л

и

и

\и3/

1 2

/

V

2 3

и2 — и3 ,3 „.2

23 и2 и3

и3- и1 и2 — и1 1 и1

—и1 - и3 и1 — 2 и2 и2

и1 — и3 —и1 — 2 и2 и3

= W (и)иа

эквивалентную уравнениям ассоциативности с антидиагональной матрицей п^ в случае трех примарных полей (1.6)

/ =( / )2 — /" /

на множество стационарных точек невырожденного интеграла 1 = / Ь(и, иХ) бж = / (^уи^иХ + V(и)) бж (3.7). Перейдем к фазовым переменным стандартным образом:

= ик, Рк = дй^ = иХ.

Выразив = иХ = 1 , получим соответствующий гамильтониан, квадра-

дЬ

тичный по импульсам:

1

Н = ^ (?) № — V (?), дН (5) = 4 ^ (5), ^ (?) ^ (?) = ^. (3.8)

г

Х

дЯ1

(51 — ?2)(?1 — 53) (д(?1 — 53)2 + А(?2 — ?3)(—2?1 + +

дЯ2 =

д13 = дя =

(51 — 52)3 8(А — д) ,

(51 — ?3)3

8А(А — д)(?2 — ?3)

дя

8А

22_(51 — ?2)(?2 — 53) (А(?2 — 53)2 — д(?1 — 53)(?1 — 2?2 + ?3))

дЯ3 =

(?2 — ?3)3

8(А — д)д(?1 — ?3)

дя

8д ( )

33 (51 — ?3)(?3 — ?2) (д(?1 — ?3)2 — А(?2 — ?3)2)

8Ад(?1 — ?2) 3 ( )

/ ^ ат

т=1

Замечание 3.2.1. Метрика дЯ гамильтониана Н (3.8), а соответственно и метрика дд исходного интеграла I1, имеет нулевую скалярную кривизну (в невырожденном случае, т.е. при А = 0, д = 0, А = д).

Из условия того, что I является первым интегралом системы

^ТТ П( \ 7

—w;(u)uХ = -г-, ¿и* ^ у Х бж

найдем функцию ( = дд,^ (и)иХиХ + ^д(и), явный вид которой указан в Приложении в разделе 4.2. Полученная функция ( в фазовых переменных имеет вид ((?,р).

Теорема 3.2.2. Система гидродинамического типа (1.7), эквивалентная уравнениям ассоциативности (1.6) с антидиагональной матрицей щ в случае трех примарных полей, ограниченная на множество стационарных точек ее невырожденного интеграла I (3.7), является канонической гамильтоновой системой с гамильтонианом —(:

(?к) = ,(?Ь (39)

(Рк) = —{Рк,(}, .

гамильтониан —Я квадратичен по импульсам:

Я = д< (я) РФ] + V, (?), (3.10)

311 =