Пространства Соболева и субэллиптические уравнения на группах Карно тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Плотникова, Елена Александровна

• Плотникова, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плотникова, Елена Александровна

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Группы Карно.

1.1.1 Общие группы Карно.

1.1.2 Двухступенчатые группы Карно и группы Гейзенберга.

1.2 Функциональные пространства на группах Карно. Теоремы вложения

1.3 Интегральные неравенства.

1.4 Области. Декомпозиция Уитни.

1.5 Горизонтальные и однородные полиномы. Однородные функции

2 Интегральные представления типа Соболева

2.1 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях групп Карно, через первые производные.

2.2 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях двухступенчатых групп Карно, через первые горизонтальные производные.

2.3 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях двухступенчатых групп Карно, через горизонтальные производные произвольного порядка

2.4 О проблеме Михлина.

3 Неравенства Пуанкаре

3.1 Слабые неравенства Пуанкаре.

3.1.1 Случай общих групп Карно.

3.1.2 Случай двухступенчатых групп Карно.

3.2 Обобщенные неравенства Пуанкаре на общих группах Карно

4 Регулярность решений линейных уравнений субэллиптического типа

4.1 Вспомогательные предложения

4.2 Класс функций М, 7,71, и его свойства.

4.3 Гёльдеровость слабых решений линейных уравнений

5 Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа

5.1 Предварительные сведения.

5.2 Дифферепцируемость вдоль векторных полей.

5.2.1 "Дифференцируемость"вдоль левоипвариаптпого векторного поля

5.2.2 Дифференцируемость решения вдоль вертикального векторного поля.

5.2.3 Дифференцируемость решения вдоль горизонтальных векторных полей.

5.3 Гёльдеровость слабого решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства Соболева и субэллиптические уравнения на группах Карно»

История вопроса

В 30-е годы прошлого века при решении уравнений с частными производными С. JI. Соболев заложил основы теории функций с обобщенными производными, разные аспекты которой отражены в его монографии [25], см. также [26]. Дальнейшее развитие этого направления было мотивированно применениями классов Соболева к теории уравнений с частными производными и другим областям, см., например, книги С. М. Никольского [16], Е. М. Стейна [27], О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1], В. М. Гольдштейна и 10. Г. Решетняка [7], В. Г. Мазьи [14], Д. Р. Адам-са и JI. И. Хедбсрга [30], В. И. Буренкова [33], Ю. Г. Решетняка [20] и других авторов.

Большое значение в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными и других вопросах имеют интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств. Различные способы вывода интегральных представлений можно найти в работах [2, 3, 17, 21, 29, 32, 62].

В работах последних лет интенсивно изучаются функции классов Соболева на неголономных многообразиях и более общих метрических структурах. Внимание к этим вопросам обусловлено многочисленными приложениями к исследованию свойств решений субэллиптических дифференциальных уравнений, см., например, работы JI. Хермандера [49], Д. Джерисона [50], JL Ротшильд и Е. Стейна [59], А. Санчес-Калле [60], JI. Капоньи, Д. Даниелли и Н. Гарофало [36, 37], Б. Франки и Е. Ланко-нелли [44], С. К. Водопьянова и В. М. Черникова [38], к изучению квазиконформного анализа, см. работы С. К. Водопьянова [4, 67], Н. С. Даирбекова [40], Ю. Хейнонена и И. Холопайнена [48], и ко многим смежным вопросам, см. работы П. Пансу [57],

П. Хайлоша [46], Н. Аркоци и Д. Морбиделли [31].

Напомним, что пространства Карно — Каратеодори — это гладкие многообразия с выделенным касательным подрасслоением, удовлетворяющим некоторым алгебраическим условиям. Векторные поля упомянутого подрасслоения называют горизонтальными. Геометрия пространств Карно — Каратеодори локально моделируется геометрией подходящей группы Карно. Классы Соболева функций, заданных в областях пространств Карно — Каратеодори, определяются через производные вдоль векторных нолей из выделенного подрасслоения.

В некоторых работах [46, 47, 50, 52] интегральными представлениями функций, определенных в пространствах Карно — Каратеодори, называют неравенства вида

-*!<«, / j^P-, (0-1)

B(z,C3r) где х G B(z, г), а Сг, Сз не зависят от х, г и /, Vl/ — вектор-функция, компоненты которой — всевозможные горизонтальные производные первого порядка компонент вектор-функции /', р(х, у) — метрика Карно — Каратеодори, v — размерность Хау-сдорфа относительно этой метрики.

Интегральные представления вида (0.1) могут быть использованы при доказательстве неравенств Пуанкаре и Соболева, однако, доказательство многих результатов теории пространств Соболева требуют более точных соотношений. Примером таких результатов могут служить коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов. Для вывода этих оценок необходимы интегральные представления типа Соболева, которые принято записывать в виде f(x) = P(f) + I<(Vf), (0.2) где P(f) — некоторый полином, а К — интегральный оператор с контролируемой особенностью.

На группах Гейзенберга интегральные представления функций вида (0.2) получены в работе Н. Н. Романовского [23], который естественно обобщил подходы С. J1. Соболева и Ю. Г. Решетняка [20], изначально реализованные в евклидовом пространстве. В нашей работе мы выводим интегральные представления вида (0.2) на группах Карно.

Как было отмечено ранее, теория пространств Соболева на неголономных многообразиях имеет приложение к теории субэллиитических уравнений, представляющих собой важный подкласс гипоэллиптических уравнений, см. [49]. Кроме того, они возникают в квазиконформном анализе, в финансовой математике и нейробиологии и т. д. Благодаря этому, большой интерес в последнее время вызывает исследование вариационной задачи для функционала п на ограниченных областях групп Карно при некотором граничном условии. Уравнениями Эйлера для этих задач будет субэллиптический р-лапласиан:

Если коммутаторы векторных полей в определении пространства Карпо — Кара-теодори тривиальны, то мы имеем евклидово пространство, и этот класс уравнений совпадает с уравнениями эллиптического типа, теория которых была развита в середине прошлого века.

В 1934 году Шаудсром [61] были выведены априорные оценки, с помощью которых была доказана классическая разрешимость задачи Дирихле. Далее, в 50-60-е годы была существенно развита теория линейных уравнений. Значительный вклад в развитие этой теории принадлежит Е. Де Джорджи [41], Дж. Нэшу [56], 11. Мор-ри [54], Г. Стампаккиа [63, 64, 65], О. А. Ладыженской [8, 9], О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [10, 11, 12].

Следующим обширным этаном исследования эллиптических уравнений было изучение квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью. Этот класс уравнений был практически полностью изучен в конце 50-х-начале 60-х годов: получены полные и законченные результаты по вопросам регулярности решений и разрешимости краевых задач. В то же время, активно исследовались вариационные задачи для функционалов п

Как известно, эти задачи тесно связаны с решением уравнений Эйлера, представляющих подкласс уравнений с дивергентной главной частью. Среди многочисленного

0.3)

71 0. количества работ, посвященных этой теме, выделим статьи [10, 11, 12, 41, 54, 55, 56].

Далее, были рассмотрены линейные и квазилинейные системы уравнений эллиптического типа. Пас прежде всего интересуют результаты, касающиеся вырождающихся квазилинейных эллиптических систем, полученные Н. Н. Уральцевой [28] в 60-е годы. Именно эти результаты, а также все полученные результаты предыдущих этапов были использованы для исследования вариационной задачи для квазирегулярного функционала v„r<fc. и

Результаты о регулярности решений субэллиптических уравнений, в настоящее время не составляют такую же полную коллекцию, как в евклидовом случае. Начало развития этой теории было положено в 1967 году в выдающейся работе JL Хёрмапдс-ра [49]. Дальнейшее исследование свойств регулярности линейных и квазилинейных субэллиптических уравнений продолжено в работах [42, 44, 50, 51, 59, 60, 66].

В 1992 году появилась работа С. Сюй [68], в который были выведены оценки Шаудера для оператора Хёрмандера, в этой же работе исследовалась регулярность слабых решений линейных субэллиптических уравнений. В 90-е годы Л. Капонья, Д. Даниелли и Н. Гарофало [34, 35, 36, 37] исследовали регулярность решений различных классов квазилинейных уравнений на группах Карно. В 2000 году X. Манфреди и А. Домокос [53] рассматривали р-гармонические функции на группе Гейзепберга, но только в случае р близкого к 2.

Таким образом, многие вопросы теории субэллиптических уравнений при исследовании вариационной задачи (0.3) остаются открытыми.

Особо отметим, что одной из основных трудностей в теории субэллиптических уравнений, которая не позволяет прямолинейно перенести методы теории эллиптических уравнений, является некоммутативпость геометрии рассматриваемых пространств. Более конкретно, в евклидовом случае на всех этапах значительно использовалось равенство вторых смешанных частных производных. В данном случае такой перестановочности нет, и поэтому разработанные методы перестают работать.

В нашей работе рассматривается один класс квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью, которые являются уравнениями Эйлера для функционала вида 1(и) на группе Гейзепберга. Более конкретно, исследуется вопрос регулярности слабого решения и £ И7^^) уравнения

2п

- XiAi(q, и, Хгщ ., Х2пи) = /(д, и, Хги,., X2nw). (0.4) i=l

В линейном случае, когда Ai(q,u,£) = уравнение (0.4) является сублапласианом, изучением которого занимались многие авторы, см., например, [42, 51]. JI. Капо-нья, Д. Данислли и Н. Гарофало [36] показали, что слабое решение уравнения (0.4) принадлежит пространству Гёльдера С£с(£2). Далее, JI. Капонья [34] исследовал на группах Гейзенберга свойства регулярности слабых решений уравнения

2 п

- ]Г ХгАг(д, Х,и,Х2пи) = /(g). (0.5) t=i

Обобщая метод пространств Морри-Компанато [54, 69) для линейных уравнений, метод Дж. Кона [51] и идею JI. Нирепбсрга [49] об использовании дифференциального частного для квазилинейных уравнений на группы Гейзенберга, JI. Капонья доказал, что слабое решение уравнения (0.5) принадлежит пространству Гёльдера

Результаты нашей работы обобщают теоремы Л. Капопьи. Однако для исследования свойств решений линейных уравнений мы распространяем классический метод Де Джорджи-Нэша-Мозера [13] на группы Гейзенберга.

Обзор основных результатов диссертационного исследования

Диссертация изложена на 82 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 69 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плотникова, Елена Александровна, 2008 год

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

2. Бесов О. В., Ильин В. П. Естественное расширение классов областей в теоремах вложения // Мат. сборник. 1968. Т. 75(117), № 4. С. 483-495.

3. Буренков В. И. Интегральные представления Соболева и формула Тейлора // Тр. МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 33-38.

4. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. жури. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.

5. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно // Математический сборник. Т. 194. № 6. С. 67-86.

6. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теорема типа Уитни о продолжении функций на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 4. С. 731 -752.

7. Голъдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

8. Ладыженская О. А. Простое доказательство разрешимости основных краевых задач и задач о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений // Вестник ЛГУ. 1955. № 11. С. 23-29.

9. Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // УМН. 1957. Т. 12, вып. 5(77). С. 123-148.

10. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многими независимыми переменными j j УМН. 1961. Т. 16, вып. 1(97). С. 19-90.

11. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. О допустимых расширениях понятия решения для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр. 1963. № 1. С. 10-25.

12. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. О непрерывности по Гёльдеру решений и их производных для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов // ДАН СССР. 1964. Т. 155, № 6. С. 1258-1261.

13. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

14. Мазъя В. Г, Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1985.

15. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

16. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

17. Перепелкин В. Г. Интегральные представленя функций, принадлежащих весовым классам С. Л. Соболева в областях и некоторые приложения // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 1, № 2. С. 119-140, 318-330.

18. Плотникова Е. А. Интегральные представления и обобщенное неравенство Пуанкаре на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49. № 2. С. 421-437.

19. Плотникова Е. А. Интегральные представления функций класса Соболева на областях групп Карно // Математические труды. 2008. Т. 11. № 1. С. 113-131.

20. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Изд-во Ин- та математики СО РАН, 1996.

21. Решетняк Ю. Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12, № 2. С. 420-432.

22. Романовский Н. Н. Коэрцитивные оценки для линейных дифференуиальных операторов с постоянными коэффициентами // Мат. заметки. 2001. Т. 70, Вып. 2. С. 316-320.

23. Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 4. С. 456459.

24. Романовский Н. Н. О проблеме Михлина на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 193-206.

25. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа, в математической физике. М.: Наука, 1988.

26. Соболев С. Л. Избранные труды. Новосибирск: Изд-во Ип-та математики СО РАН, 2006. Т. II.

27. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Мир, 1973.

28. Уралъцева Н. Н. Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 184-222.

29. Успенский С. В. О представлении функций, определеяемых одним классом операторов // Тр. МИАН СССР. 1972. Т. 131. С. 292-299.

30. Adams D. R., Hedberg L. I. Function spaces and potential theory. Springer, 1996.

31. Arcozzi N., Morbidelli D. A global inverse map theorem and biLipschitz maps in the Heisenberg group // Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat. 2006. V. 52, № 2. P. 189-197.

32. Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P. On spaces of potentials connected with Lp classes // Ann. Inst. Fourier. 1963. V. 13. P. 211-306.

33. Burenkov V. I. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik. Stuttgard-Leipzig. B.137, 1998.

34. Capogna L. Regularity of quasilinear equations in Heisenberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1997. V. 50. P. 867-889.

35. Capogna L. Regularity of quasilinear equations and 1-quasiconformal maps in Carnot Groups j I Math. Ann. 1999. V. 313, № 2. P. 263-295.

36. Capogna L., Danielli D., Garojalo N. An embedding theorem and the Harnack inequality for nonlinear subelliptic equations // Comm. Partial Differential Equations. 1993. V. 18. P. 1765-1794.

37. Capogna L., Danielli D., Garofalo N. Capacitary estimates and the local behavior of solutions to nonlinear subelliptic equations // Amer. J. Math. 1996. V. 118. P. 11531196.

38. Chernikov V. M., Vodopyanov S.K. Sobolev Spaces and Hypoelliptic Equations // Siberian Advances in Mathematics. 1996. I. T. 6, № 3. P. 27-67. II. 1996. T. 6, № 4. P. 64-96.

39. Citti G., Garofalo N., Lanconelli E. Ilarnack's inequality for sum of squares of vector fields plus a potential // Amer. J. Math. 1993. V. 115, № 3. P. 699-734.

40. Dairbekov N. S. Mappings with Bounded Distortion of Two-Step Carnot Groups // Труды no анализу и геометрии. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2000. Р. 122-155.

41. De Giorgi Е. Sulla differenziabilita е l'analiticita delle estremali degli integrali mul-tipli regolari I j Mem. Acc.Sci.Torino. 1957. V. 3. P. 1-19.

42. Folland G. В., Stein I. Estimates for the complex and analysis on the Heisenberg group, spaces on homogeneous groups // Comm. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 459-522.

43. Folland G. В., Stein I. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton, NJ: Amer. Math. Soc., 1982.

44. Franchi В., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of non uniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. 1983. V. 10, № 4. P. 523-541.

45. Garofalo N., Nhieu D. M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Caratheodory spaces and the existence of minimal surfaces // Commun. Pure Appl. Math. 1996. V. 49, № 10. P. 1081-1144.

46. Hajlasz P. Geometric approach to Sobolev spaces and badly degenerated elliptic equation // Mathematical Sciences and Application. 1995. V. 7. P. 141-168.

47. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincare // Memoirs of the American Mathematical Society. 2000. V. 145, № 688.

48. Heinonen J., Holopainen I. Quasircgular maps on Carnot groups // J. Geoin. Anal. 1997. V. 7, № 1. P. 109-148.

49. Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147-171.

50. Jerison D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J. 1986. V. 53, № 2. P. 503-523.

51. Kohn J. J. Pseudo-differential operators and hypoellipticity //Proc. Symp. Pure Math, 23, Amer. Math. Soc., 1973.

52. Lu G. Weighted Poincare and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and applications // Rev. Mat. Iberoamericana. 1992. V. 8, № 3. P. 367-439.

53. Morrey С. B. Second oreder elliptic equations in several variables and Holder continuity // Math. Z. 1959. V. 72. P. 146-164.

54. Morrey С. B. Existance and differentiability theorems for variational problems for multiple integrals // Univ. of Wisconsin Press, Madison Wis. 1961. P. 241-270.

55. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. V. 80, № 4. P. 931-954.

56. Pansu P. Metriques de Carnot —Caratheodory et quasiisometries des espaces symetriques de rans un // Ann. of Math. 1989. V. 129. P. 1-60.

57. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces // Notas de Mateinatica No. 39, Instituto de Matematica Рига e Aplicada, Conselho Nacional de Pcquisas, Rio de Janeiro, 1968.

58. Rotschild G. В., Stein I. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups j j Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

59. Sanches-Calle A. Fundamental solutions and geometry of sums of squares of vector fields // Invent.Math. 1984. V. 78. P. 143-160.

60. Schauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z. 1934. Z. 38. P. 257-282.

61. Smith К. T. Formulas to represent functions by their derivatives // Math. Ann. 1970. V. 188, № 1. P. 53-77.

62. Stampacchia, G. Contributi alia, regolarizzazione della soluzioni dei problemi al con-torno per le equazioni del secondo ordine ellittiche // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. 1958. V. 12. P. 223-245.

63. Stampacchia G. Problemi al contorno ellittici, con dati discontini, dotat di soluzioni holderiane // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1960. V. 51. P. 1-38.

64. Stampacchia G. On some regular multiple integral problems in the calculus of variations j I Comm. Pure and Appl. Math. 1963. V. 16. P. 383-421.

65. Stein E. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton University Press, 1993.

66. Vodopyanov S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics. 2007. V. 424. P. 303-344.

67. Xu С. J. Regualarity for quasi-linear second-oreder subelliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1992. V. 45. P. 77-96.

68. Xu C. J., Zuily C. Higher interior regularity for quasilinear subelliptic systems // Prepublications Univ. Paris-Sud Math. 1995. V. 425. P. 1-24.